Номер 4.10, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

4.10. Решите уравнение:

1) $\int_{1}^{x}(3-2t)dt = 4-2x;$

2) $\int_{1}^{x}(1-4t)dt = 12-9x;$

3) $\int_{x}^{-1}(3t-2)dt = 5-x;$

4) $\int_{x}^{-2}(5t+1)dt = 6+x.$

1) Для решения уравнения $\int_1^x (3 - 2t)dt = 4 - 2x$ сначала вычислим определенный интеграл в левой части.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(t) = 3 - 2t$.

$F(t) = \int (3 - 2t)dt = 3t - 2\frac{t^2}{2} = 3t - t^2$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(t)dt = F(b) - F(a)$:

$\int_1^x (3 - 2t)dt = (3t - t^2)|_1^x = (3x - x^2) - (3 \cdot 1 - 1^2) = 3x - x^2 - (3 - 1) = 3x - x^2 - 2$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$3x - x^2 - 2 = 4 - 2x$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$-x^2 + 3x + 2x - 2 - 4 = 0$

$-x^2 + 5x - 6 = 0$

Умножим обе части на -1:

$x^2 - 5x + 6 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда находим корни:

$x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Ответ: $x=2, x=3$.

2) Решим уравнение $\int_1^x (1 - 4t)dt = 12 - 9x$.

Найдем первообразную для $f(t) = 1 - 4t$:

$F(t) = \int (1 - 4t)dt = t - 4\frac{t^2}{2} = t - 2t^2$.

Вычислим определенный интеграл:

$\int_1^x (1 - 4t)dt = (t - 2t^2)|_1^x = (x - 2x^2) - (1 - 2 \cdot 1^2) = x - 2x^2 - (1 - 2) = x - 2x^2 + 1$.

Подставим в исходное уравнение:

$x - 2x^2 + 1 = 12 - 9x$.

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$-2x^2 + x + 9x + 1 - 12 = 0$

$-2x^2 + 10x - 11 = 0$

$2x^2 - 10x + 11 = 0$.

Решим уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 100 - 88 = 12$.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $x = \frac{5 + \sqrt{3}}{2}, x = \frac{5 - \sqrt{3}}{2}$.

3) Решим уравнение $\int_x^{-1} (3t - 2)dt = 5 - x$.

Найдем первообразную для $f(t) = 3t - 2$:

$F(t) = \int (3t - 2)dt = 3\frac{t^2}{2} - 2t$.

Вычислим определенный интеграл:

$\int_x^{-1} (3t - 2)dt = (\frac{3}{2}t^2 - 2t)|_x^{-1} = (\frac{3}{2}(-1)^2 - 2(-1)) - (\frac{3}{2}x^2 - 2x) = (\frac{3}{2} + 2) - \frac{3}{2}x^2 + 2x = \frac{7}{2} - \frac{3}{2}x^2 + 2x$.

Подставим в исходное уравнение:

$\frac{7}{2} - \frac{3}{2}x^2 + 2x = 5 - x$.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$7 - 3x^2 + 4x = 10 - 2x$.

Перенесем все члены в левую часть:

$-3x^2 + 4x + 2x + 7 - 10 = 0$

$-3x^2 + 6x - 3 = 0$.

Разделим обе части на -3:

$x^2 - 2x + 1 = 0$.

Это уравнение является полным квадратом:

$(x - 1)^2 = 0$.

Следовательно, уравнение имеет один корень:

$x = 1$.

Ответ: $x=1$.

4) Решим уравнение $\int_x^{-2} (5t + 1)dt = 6 + x$.

Найдем первообразную для $f(t) = 5t + 1$:

$F(t) = \int (5t + 1)dt = 5\frac{t^2}{2} + t$.

Вычислим определенный интеграл:

$\int_x^{-2} (5t + 1)dt = (\frac{5}{2}t^2 + t)|_x^{-2} = (\frac{5}{2}(-2)^2 + (-2)) - (\frac{5}{2}x^2 + x) = (\frac{5}{2} \cdot 4 - 2) - \frac{5}{2}x^2 - x = (10 - 2) - \frac{5}{2}x^2 - x = 8 - \frac{5}{2}x^2 - x$.

Подставим в исходное уравнение:

$8 - \frac{5}{2}x^2 - x = 6 + x$.

Умножим обе части на 2:

$16 - 5x^2 - 2x = 12 + 2x$.

Перенесем все члены в левую часть:

$-5x^2 - 2x - 2x + 16 - 12 = 0$

$-5x^2 - 4x + 4 = 0$.

Умножим на -1:

$5x^2 + 4x - 4 = 0$.

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 16 + 80 = 96$.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 \cdot 6}}{10} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{6}}{10} = \frac{2(-2 \pm 2\sqrt{6})}{10} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{5}$.

Ответ: $x = \frac{-2 + 2\sqrt{6}}{5}, x = \frac{-2 - 2\sqrt{6}}{5}$.