Номер 4.13, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

4.13. 1) $\int_{0}^{1} (2 + 5x)^3 dx;$

2) $\int_{0}^{1} (2x + 3)^3 dx;$

3) $\int_{-1}^{0} \frac{dx}{(6x - 1)^4};$

4) $\int_{-1}^{0} \frac{dx}{(1 - 2x)^5};$

1) Для вычисления интеграла $ \int_0^1 (2+5x)^3 dx $ воспользуемся методом замены переменной (подстановки).

Пусть $ t = 2+5x $. Тогда найдем дифференциал $ dt = (2+5x)'dx = 5dx $. Отсюда выразим $ dx = \frac{dt}{5} $.

Теперь необходимо найти новые пределы интегрирования для переменной $ t $.

Нижний предел: если $ x=0 $, то $ t = 2+5 \cdot 0 = 2 $.

Верхний предел: если $ x=1 $, то $ t = 2+5 \cdot 1 = 7 $.

Подставляем все в исходный интеграл:

$ \int_0^1 (2+5x)^3 dx = \int_2^7 t^3 \frac{dt}{5} = \frac{1}{5} \int_2^7 t^3 dt $

Теперь используем формулу Ньютона-Лейбница $ \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для $ f(x) $. Первообразная для $ t^3 $ равна $ \frac{t^4}{4} $.

$ \frac{1}{5} \int_2^7 t^3 dt = \frac{1}{5} \left[ \frac{t^4}{4} \right]_2^7 = \frac{1}{5} \left( \frac{7^4}{4} - \frac{2^4}{4} \right) = \frac{1}{20} (7^4 - 2^4) = \frac{1}{20} (2401 - 16) = \frac{2385}{20} = \frac{477}{4} = 119,25 $.

Ответ: $119,25$.

2) Для вычисления интеграла $ \int_0^1 (2x+3)^3 dx $ также используем метод замены переменной.

Пусть $ t = 2x+3 $. Тогда $ dt = (2x+3)'dx = 2dx $, откуда $ dx = \frac{dt}{2} $.

Найдем новые пределы интегрирования.

Нижний предел: если $ x=0 $, то $ t = 2 \cdot 0 + 3 = 3 $.

Верхний предел: если $ x=1 $, то $ t = 2 \cdot 1 + 3 = 5 $.

Подставляем в интеграл:

$ \int_0^1 (2x+3)^3 dx = \int_3^5 t^3 \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_3^5 t^3 dt = \frac{1}{2} \left[ \frac{t^4}{4} \right]_3^5 = \frac{1}{8} [t^4]_3^5 = \frac{1}{8} (5^4 - 3^4) = \frac{1}{8} (625 - 81) = \frac{544}{8} = 68 $.

Ответ: $68$.

3) Вычислим интеграл $ \int_{-1}^0 \frac{dx}{(6x-1)^4} $.

Применим замену переменной. Пусть $ t = 6x-1 $. Тогда $ dt = 6dx $, откуда $ dx = \frac{dt}{6} $.

Найдем новые пределы интегрирования.

Нижний предел: если $ x=-1 $, то $ t = 6(-1)-1 = -7 $.

Верхний предел: если $ x=0 $, то $ t = 6(0)-1 = -1 $.

Подставляем в интеграл:

$ \int_{-1}^0 \frac{dx}{(6x-1)^4} = \int_{-7}^{-1} \frac{1}{t^4} \frac{dt}{6} = \frac{1}{6} \int_{-7}^{-1} t^{-4} dt $.

Первообразная для $ t^{-4} $ равна $ \frac{t^{-3}}{-3} = -\frac{1}{3t^3} $.

$ \frac{1}{6} \left[ -\frac{1}{3t^3} \right]_{-7}^{-1} = -\frac{1}{18} \left[ \frac{1}{t^3} \right]_{-7}^{-1} = -\frac{1}{18} \left( \frac{1}{(-1)^3} - \frac{1}{(-7)^3} \right) = -\frac{1}{18} \left( \frac{1}{-1} - \frac{1}{-343} \right) = -\frac{1}{18} \left( -1 + \frac{1}{343} \right) = -\frac{1}{18} \left( \frac{-343+1}{343} \right) = -\frac{1}{18} \left( \frac{-342}{343} \right) = \frac{342}{18 \cdot 343} = \frac{19}{343} $.

Ответ: $\frac{19}{343}$.

4) Вычислим интеграл $ \int_{-1}^0 \frac{dx}{(1-2x)^5} $.

Применим замену переменной. Пусть $ t = 1-2x $. Тогда $ dt = -2dx $, откуда $ dx = -\frac{dt}{2} $.

Найдем новые пределы интегрирования.

Нижний предел: если $ x=-1 $, то $ t = 1-2(-1) = 3 $.

Верхний предел: если $ x=0 $, то $ t = 1-2(0) = 1 $.

Подставляем в интеграл:

$ \int_{-1}^0 \frac{dx}{(1-2x)^5} = \int_3^1 \frac{1}{t^5} \left(-\frac{dt}{2}\right) = -\frac{1}{2} \int_3^1 t^{-5} dt $.

Используя свойство определенного интеграла $ \int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx $, поменяем пределы интегрирования:

$ \frac{1}{2} \int_1^3 t^{-5} dt $.

Первообразная для $ t^{-5} $ равна $ \frac{t^{-4}}{-4} = -\frac{1}{4t^4} $.

$ \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{4t^4} \right]_1^3 = -\frac{1}{8} \left[ \frac{1}{t^4} \right]_1^3 = -\frac{1}{8} \left( \frac{1}{3^4} - \frac{1}{1^4} \right) = -\frac{1}{8} \left( \frac{1}{81} - 1 \right) = -\frac{1}{8} \left( \frac{1-81}{81} \right) = -\frac{1}{8} \left( \frac{-80}{81} \right) = \frac{80}{8 \cdot 81} = \frac{10}{81} $.

Ответ: $\frac{10}{81}$.