Номер 4.11, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

4.11. Решите неравенство:

1) $\int_{0}^{x} 5dt > 1;$

2) $\int_{x}^{x^2} 5dt < 0;$

3) $\int_{x}^{1} 3dt > 9;$

4) $\int_{x}^{2} (2t - 3) dt > 0.$

1) Сначала вычислим определенный интеграл в левой части неравенства:

$ \int_{0}^{x} 5dt $

Первообразная для подынтегральной функции $f(t) = 5$ есть $F(t) = 5t$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{x} 5dt = [5t]_{0}^{x} = 5x - 5 \cdot 0 = 5x $.

Теперь решим неравенство:

$ 5x > 1 $

$ x > \frac{1}{5} $.

Ответ: $x \in (\frac{1}{5}; +\infty)$.

2) Вычислим определенный интеграл:

$ \int_{x}^{x^2} 5dt $

Первообразная для $f(t) = 5$ есть $F(t) = 5t$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{x}^{x^2} 5dt = [5t]_{x}^{x^2} = 5x^2 - 5x $.

Решим полученное неравенство:

$ 5x^2 - 5x < 0 $

Разделим обе части на 5:

$ x^2 - x < 0 $

$ x(x - 1) < 0 $.

Это квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 1) = 0$: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.

Поскольку ветви параболы $y = x^2 - x$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями.

$ 0 < x < 1 $.

Ответ: $x \in (0; 1)$.

3) Вычислим определенный интеграл:

$ \int_{x}^{1} 3dt $

Первообразная для $f(t) = 3$ есть $F(t) = 3t$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{x}^{1} 3dt = [3t]_{x}^{1} = 3 \cdot 1 - 3x = 3 - 3x $.

Теперь решим неравенство:

$ 3 - 3x > 9 $

$ -3x > 9 - 3 $

$ -3x > 6 $

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$ x < \frac{6}{-3} $

$ x < -2 $.

Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

4) Вычислим определенный интеграл:

$ \int_{x}^{2} (2t - 3) dt $

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(t) = 2t - 3$:

$ F(t) = \int (2t - 3)dt = 2\frac{t^2}{2} - 3t = t^2 - 3t $.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{x}^{2} (2t - 3) dt = [t^2 - 3t]_{x}^{2} = (2^2 - 3 \cdot 2) - (x^2 - 3x) = (4 - 6) - (x^2 - 3x) = -2 - x^2 + 3x $.

Решим неравенство:

$ -x^2 + 3x - 2 > 0 $.

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:

$ x^2 - 3x + 2 < 0 $.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Разложим на множители: $(x - 1)(x - 2) < 0$.

Ветви параболы $y = x^2 - 3x + 2$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями.

$ 1 < x < 2 $.

Ответ: $x \in (1; 2)$.