Номер 4.15, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

4.15. Найдите все значения, при которых верно неравенство:

1) $\int_{x}^{3} (t+1)dt < 0;$

2) $\int_{x}^{2} (1-t)dt > 0;$

3) $\int_{-2}^{x} (2-3t)dt > 0;$

4) $\int_{-3}^{x} (4t-1)dt < 0.$

1) Чтобы найти значения $x$, при которых верно неравенство $\int_x^3 (t + 1)dt < 0$, сначала вычислим определенный интеграл. Первообразная для функции $f(t) = t + 1$ есть $F(t) = \frac{t^2}{2} + t$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_x^3 (t + 1)dt = \left( \frac{t^2}{2} + t \right) \bigg|_x^3 = \left( \frac{3^2}{2} + 3 \right) - \left( \frac{x^2}{2} + x \right) = \frac{9}{2} + 3 - \frac{x^2}{2} - x = \frac{15}{2} - \frac{x^2}{2} - x$.

Теперь решим неравенство:

$\frac{15}{2} - \frac{x^2}{2} - x < 0$.

Умножим обе части на $-2$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$-15 + x^2 + 2x > 0$

$x^2 + 2x - 15 > 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 15 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + 2x - 15$ направлены вверх, неравенство $y > 0$ выполняется при значениях $x$ за пределами интервала между корнями.

Следовательно, $x < -5$ или $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (3, \infty)$.

2) Решим неравенство $\int_x^2 (1 - t)dt > 0$. Первообразная для $f(t) = 1 - t$ есть $F(t) = t - \frac{t^2}{2}$.

Вычислим интеграл:

$\int_x^2 (1 - t)dt = \left( t - \frac{t^2}{2} \right) \bigg|_x^2 = \left( 2 - \frac{2^2}{2} \right) - \left( x - \frac{x^2}{2} \right) = (2 - 2) - x + \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{2} - x$.

Решим неравенство:

$\frac{x^2}{2} - x > 0$.

Умножим на 2:

$x^2 - 2x > 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 2) > 0$.

Корни уравнения $x(x-2)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Ветви параболы $y=x(x-2)$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x < 0$ или $x > 2$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$.

3) Решим неравенство $\int_{-2}^x (2 - 3t)dt > 0$. Первообразная для $f(t) = 2 - 3t$ есть $F(t) = 2t - \frac{3t^2}{2}$.

Вычислим интеграл:

$\int_{-2}^x (2 - 3t)dt = \left( 2t - \frac{3t^2}{2} \right) \bigg|_{-2}^x = \left( 2x - \frac{3x^2}{2} \right) - \left( 2(-2) - \frac{3(-2)^2}{2} \right) = 2x - \frac{3x^2}{2} - (-4 - 6) = -\frac{3}{2}x^2 + 2x + 10$.

Решим неравенство:

$-\frac{3}{2}x^2 + 2x + 10 > 0$.

Умножим на $-2$ и изменим знак неравенства:

$3x^2 - 4x - 20 < 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 - 4x - 20 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 16 + 240 = 256 = 16^2$.

Корни: $x_1 = \frac{4 - 16}{6} = \frac{-12}{6} = -2$, $x_2 = \frac{4 + 16}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.

Ветви параболы $y = 3x^2 - 4x - 20$ направлены вверх, поэтому неравенство $y < 0$ выполняется между корнями.

Следовательно, $-2 < x < \frac{10}{3}$.

Ответ: $x \in (-2, \frac{10}{3})$.

4) Решим неравенство $\int_{-3}^x (4t - 1)dt < 0$. Первообразная для $f(t) = 4t - 1$ есть $F(t) = 2t^2 - t$.

Вычислим интеграл:

$\int_{-3}^x (4t - 1)dt = \left( 2t^2 - t \right) \bigg|_{-3}^x = (2x^2 - x) - (2(-3)^2 - (-3)) = 2x^2 - x - (18 + 3) = 2x^2 - x - 21$.

Решим неравенство:

$2x^2 - x - 21 < 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 - x - 21 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-21) = 1 + 168 = 169 = 13^2$.

Корни: $x_1 = \frac{1 - 13}{4} = \frac{-12}{4} = -3$, $x_2 = \frac{1 + 13}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$.

Ветви параболы $y = 2x^2 - x - 21$ направлены вверх, поэтому неравенство $y < 0$ выполняется между корнями.

Следовательно, $-3 < x < \frac{7}{2}$.

Ответ: $x \in (-3, \frac{7}{2})$.