Номер 3.17, страница 33 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

3.17. Найдите производную функции:

1) $y = \operatorname{arctg}2x + \frac{1}{x}$;

2) $y = \sqrt{2x+1} - \operatorname{tg}x^3$;

3) $y = \cos^{-1}x - x$;

4) $y = \frac{\sin2x}{x} + \frac{1}{3x}$.

1) Дана функция $y = \operatorname{arctg}2x + \frac{1}{x}$.

Найдем производную как сумму производных двух слагаемых: $y' = (\operatorname{arctg}2x)' + (\frac{1}{x})'$.

Первое слагаемое, $(\operatorname{arctg}2x)'$, является производной сложной функции. Используем формулу $(\operatorname{arctg} u)' = \frac{1}{1+u^2} \cdot u'$, где $u=2x$, а $u' = 2$.

$(\operatorname{arctg}2x)' = \frac{1}{1+(2x)^2} \cdot (2x)' = \frac{1}{1+4x^2} \cdot 2 = \frac{2}{1+4x^2}$.

Второе слагаемое, $(\frac{1}{x})'$, найдем по формуле производной степенной функции $(\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Складываем полученные производные:

$y' = \frac{2}{1+4x^2} - \frac{1}{x^2}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{1+4x^2} - \frac{1}{x^2}$.

2) Дана функция $y = \sqrt{2x+1} - \operatorname{tg}x^3$.

Найдем производную как разность производных: $y' = (\sqrt{2x+1})' - (\operatorname{tg}x^3)'$.

Первое слагаемое, $(\sqrt{2x+1})'$, является производной сложной функции. Используем формулу $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$, где $u=2x+1$, а $u'=2$.

$(\sqrt{2x+1})' = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot (2x+1)' = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$.

Второе слагаемое, $(\operatorname{tg}x^3)'$, также является производной сложной функции. Используем формулу $(\operatorname{tg} u)' = \frac{1}{\cos^2 u} \cdot u'$, где $u=x^3$, а $u'=3x^2$.

$(\operatorname{tg}x^3)' = \frac{1}{\cos^2(x^3)} \cdot (x^3)' = \frac{1}{\cos^2(x^3)} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{\cos^2(x^3)}$.

Вычитаем вторую производную из первой:

$y' = \frac{1}{\sqrt{2x+1}} - \frac{3x^2}{\cos^2(x^3)}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{\sqrt{2x+1}} - \frac{3x^2}{\cos^2(x^3)}$.

3) Дана функция $y = \cos^{-1}x - x$. Запись $\cos^{-1}x$ означает арккосинус $x$, то есть $y = \arccos x - x$.

Найдем производную как разность производных: $y' = (\arccos x)' - (x)'$.

Производная арккосинуса является табличной: $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Производная $x$ равна 1: $(x)' = 1$.

Тогда производная исходной функции равна:

$y' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - 1$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - 1$.

4) Дана функция $y = \frac{\sin 2x}{x} + \frac{1}{3x}$.

Найдем производную как сумму производных: $y' = (\frac{\sin 2x}{x})' + (\frac{1}{3x})'$.

Для первого слагаемого, $(\frac{\sin 2x}{x})'$, используем правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = \sin 2x$ и $v = x$.

Найдем производную $u' = (\sin 2x)'$. Это сложная функция, $u' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos 2x$.

Найдем производную $v' = (x)' = 1$.

Подставляем в формулу: $(\frac{\sin 2x}{x})' = \frac{(2\cos 2x) \cdot x - (\sin 2x) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x\cos 2x - \sin 2x}{x^2}$.

Для второго слагаемого, $(\frac{1}{3x})'$, используем правило производной степенной функции: $(\frac{1}{3x})' = (\frac{1}{3}x^{-1})' = \frac{1}{3}(-1)x^{-2} = -\frac{1}{3x^2}$.

Складываем полученные производные:

$y' = \frac{2x\cos 2x - \sin 2x}{x^2} - \frac{1}{3x^2}$.

Приведем к общему знаменателю $3x^2$:

$y' = \frac{3(2x\cos 2x - \sin 2x)}{3x^2} - \frac{1}{3x^2} = \frac{6x\cos 2x - 3\sin 2x - 1}{3x^2}$.

Ответ: $y' = \frac{6x\cos 2x - 3\sin 2x - 1}{3x^2}$.