Номер 6.8, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

6.8. Найдите неопределенный интеграл:

1) $ \int(1 + \sqrt{x+1})dx; $

2) $ \int\left(x + \frac{2}{(x-1)^2}\right)dx; $

3) $ \int(\sin2x + x^{-3})dx; $

4) $ \int\left(2 - \frac{1}{\cos^2 2x}\right)dx. $

1)

Для нахождения неопределенного интеграла $\int (1 + \sqrt{x+1}) dx$ воспользуемся свойством линейности интеграла, представив его в виде суммы двух интегралов:

$\int (1 + \sqrt{x+1}) dx = \int 1 dx + \int \sqrt{x+1} dx$

Первый интеграл является табличным:

$\int 1 dx = x + C_1$

Для второго интеграла $\int \sqrt{x+1} dx$ представим корень как степень $1/2$ и применим метод замены переменной. Пусть $t = x+1$, тогда $dt = d(x+1) = (x+1)'dx = 1 \cdot dx = dx$.

$\int \sqrt{x+1} dx = \int (x+1)^{1/2} dx = \int t^{1/2} dt$

Теперь используем формулу для интеграла от степенной функции $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int t^{1/2} dt = \frac{t^{1/2+1}}{1/2+1} + C_2 = \frac{t^{3/2}}{3/2} + C_2 = \frac{2}{3}t^{3/2} + C_2$

Произведем обратную замену $t = x+1$:

$\frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C_2$

Суммируем результаты, объединяя произвольные постоянные $C_1$ и $C_2$ в одну константу $C = C_1 + C_2$:

$x + \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C$

Ответ: $x + \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C$.

2)

Найдем интеграл $\int (x + \frac{2}{(x-1)^2}) dx$. Разделим его на два интеграла:

$\int (x + \frac{2}{(x-1)^2}) dx = \int x dx + \int \frac{2}{(x-1)^2} dx$

Первый интеграл – табличный:

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_1$

Во втором интеграле вынесем константу $2$ за знак интеграла и представим дробь в виде степени:

$\int \frac{2}{(x-1)^2} dx = 2 \int (x-1)^{-2} dx$

Применим метод замены переменной. Пусть $t = x-1$, тогда $dt = dx$.

$2 \int t^{-2} dt = 2 \cdot \frac{t^{-2+1}}{-2+1} + C_2 = 2 \cdot \frac{t^{-1}}{-1} + C_2 = -2t^{-1} + C_2 = -\frac{2}{t} + C_2$

Произведем обратную замену $t = x-1$:

$-\frac{2}{x-1} + C_2$

Объединим результаты и константы $C = C_1 + C_2$:

$\frac{x^2}{2} - \frac{2}{x-1} + C$

Ответ: $\frac{x^2}{2} - \frac{2}{x-1} + C$.

3)

Найдем интеграл $\int (\sin(2x) + x^{-3}) dx$. Разделим его на сумму двух интегралов:

$\int (\sin(2x) + x^{-3}) dx = \int \sin(2x) dx + \int x^{-3} dx$

Для первого интеграла $\int \sin(2x) dx$ используем замену переменной. Пусть $t = 2x$, тогда $dt = 2dx$, откуда $dx = \frac{1}{2}dt$.

$\int \sin(2x) dx = \int \sin(t) \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int \sin(t) dt = \frac{1}{2} (-\cos(t)) + C_1 = -\frac{1}{2}\cos(t) + C_1$

Выполним обратную замену $t = 2x$:

$-\frac{1}{2}\cos(2x) + C_1$

Второй интеграл $\int x^{-3} dx$ является табличным для степенной функции:

$\int x^{-3} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C_2 = \frac{x^{-2}}{-2} + C_2 = -\frac{1}{2x^2} + C_2$

Сложим результаты и объединим константы $C = C_1 + C_2$:

$-\frac{1}{2}\cos(2x) - \frac{1}{2x^2} + C$

Ответ: $-\frac{1}{2}\cos(2x) - \frac{1}{2x^2} + C$.

4)

Найдем интеграл $\int (2 - \frac{1}{\cos^2(2x)}) dx$. Разделим его на разность двух интегралов:

$\int (2 - \frac{1}{\cos^2(2x)}) dx = \int 2 dx - \int \frac{1}{\cos^2(2x)} dx$

Первый интеграл:

$\int 2 dx = 2x + C_1$

Для второго интеграла $\int \frac{1}{\cos^2(2x)} dx$ применим замену переменной. Пусть $t = 2x$, тогда $dt = 2dx$, откуда $dx = \frac{1}{2}dt$.

$\int \frac{1}{\cos^2(2x)} dx = \int \frac{1}{\cos^2(t)} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos^2(t)} dt$

Интеграл $\int \frac{1}{\cos^2(t)} dt$ является табличным, его результат $\tan(t) + C_2$.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos^2(t)} dt = \frac{1}{2}\tan(t) + C_2$

Выполним обратную замену $t = 2x$:

$\frac{1}{2}\tan(2x) + C_2$

Объединим результаты, приняв $C = C_1 - C_2$:

$2x - \frac{1}{2}\tan(2x) + C$

Ответ: $2x - \frac{1}{2}\tan(2x) + C$.