Номер 6.10, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

6.10. Найдите значение определенного интеграла:

1) $\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 3\sqrt{2x})dx;$

2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (18x^2 - \sin(2x))dx;$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 3\sqrt{2x}) dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 3x^2 - 2x + 3\sqrt{2x}$. Для удобства представим $3\sqrt{2x}$ как $3\sqrt{2} \cdot x^{1/2}$.

Используя таблицу первообразных, получим:

$F(x) = \int (3x^2 - 2x + 3\sqrt{2}x^{1/2}) dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + 3\sqrt{2} \cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = 3 \frac{x^3}{3} - 2 \frac{x^2}{2} + 3\sqrt{2} \frac{x^{3/2}}{3/2} = x^3 - x^2 + 2\sqrt{2}x^{3/2}$.

Теперь вычислим значения первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования.

$F(2) = 2^3 - 2^2 + 2\sqrt{2}(2)^{3/2} = 8 - 4 + 2\sqrt{2}(2\sqrt{2}) = 4 + 4 \cdot 2 = 4 + 8 = 12$.

$F(1) = 1^3 - 1^2 + 2\sqrt{2}(1)^{3/2} = 1 - 1 + 2\sqrt{2}(1) = 2\sqrt{2}$.

Подставим найденные значения в формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 3\sqrt{2x}) dx = F(2) - F(1) = 12 - 2\sqrt{2}$.

Ответ: $12 - 2\sqrt{2}$.

2) Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (18x^2 - \sin(2x)) dx$ по формуле Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$.

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = 18x^2 - \sin(2x)$.

$F(x) = \int (18x^2 - \sin(2x)) dx = 18 \cdot \frac{x^3}{3} - \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) = 6x^3 + \frac{1}{2}\cos(2x)$.

Вычислим значения первообразной в точках $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = 0$.

$F\left(\frac{\pi}{6}\right) = 6\left(\frac{\pi}{6}\right)^3 + \frac{1}{2}\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = 6 \cdot \frac{\pi^3}{216} + \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi^3}{36} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi^3}{36} + \frac{1}{4}$.

$F(0) = 6(0)^3 + \frac{1}{2}\cos(2 \cdot 0) = 0 + \frac{1}{2}\cos(0) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем значение интеграла:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (18x^2 - \sin(2x)) dx = F\left(\frac{\pi}{6}\right) - F(0) = \left(\frac{\pi^3}{36} + \frac{1}{4}\right) - \frac{1}{2} = \frac{\pi^3}{36} - \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi^3}{36} - \frac{1}{4}$.