Вопросы, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Какие данные можно извлечь из дискретного вариационного ряда?

2. Какие данные можно извлечь из интервального вариационного ряда?

1. Какие данные можно извлечь из дискретного вариационного ряда?

Дискретный вариационный ряд представляет собой таблицу, в которой перечислены все возможные уникальные значения (варианты) изучаемого признака в порядке возрастания и указано, сколько раз каждое из этих значений встречается (частота). Поскольку в таком ряду известны все точные значения и их частоты, из него можно извлечь исчерпывающую и точную информацию о распределении признака.

Основные данные и статистические характеристики, которые можно получить из дискретного ряда:

• Варианты ($x_i$) — это конкретные, отдельные значения, которые принимает признак (например, количество детей в семье, оценка на экзамене).
• Частоты ($n_i$) — показывают, сколько раз каждая варианта $x_i$ встретилась в исследуемой совокупности.
• Объем совокупности ($N$) — общее количество всех наблюдений, которое равно сумме всех частот: $N = \sum n_i$.
• Относительные частоты ($w_i$) — доля каждой варианты в общем объеме совокупности, рассчитывается по формуле $w_i = \frac{n_i}{N}$. Сумма всех относительных частот равна 1.
• Показатели центральной тенденции (меры среднего уровня):
  • Мода ($Mo$) — это варианта с наибольшей частотой. Она показывает наиболее типичное, часто встречающееся значение признака.
  • Медиана ($Me$) — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных и делит его на две равные по количеству членов части.
  • Средняя арифметическая взвешенная ($\bar{x}$) — обобщающая характеристика, показывающая средний уровень признака. Рассчитывается как: $\bar{x} = \frac{\sum x_i n_i}{\sum n_i}$.
• Показатели вариации (меры рассеяния):
  • Размах вариации ($R$) — разница между максимальным и минимальным значениями вариант: $R = x_{max} - x_{min}$.
  • Дисперсия ($\sigma^2$) — средняя величина квадратов отклонений вариант от их средней арифметической. Показывает степень разброса данных вокруг среднего: $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 n_i}{\sum n_i}$.
  • Среднее квадратическое отклонение ($\sigma$) — корень из дисперсии ($\sigma = \sqrt{\sigma^2}$). Это наиболее употребимый показатель рассеяния, выраженный в тех же единицах, что и сам признак.

Ключевое преимущество дискретного ряда заключается в том, что все перечисленные характеристики вычисляются точно, без каких-либо приближений, так как имеется полная информация о каждом значении в совокупности.

Ответ: Из дискретного вариационного ряда можно извлечь точные значения вариант, их частоты и относительные частоты, а также рассчитать точные значения таких статистических показателей, как мода, медиана, средняя арифметическая, размах вариации, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

2. Какие данные можно извлечь из интервального вариационного ряда?

Интервальный вариационный ряд используется для представления сгруппированных данных, когда признак является непрерывным (например, рост, вес, доход) или принимает очень много различных дискретных значений. В этом ряду данные представлены в виде интервалов и частот, показывающих, сколько наблюдений попало в каждый интервал. Главная особенность такого ряда — потеря информации о точных значениях наблюдений внутри интервалов.

Из интервального ряда можно извлечь следующие данные и характеристики:

• Границы интервалов и их ширина ($h$) — определяют диапазоны, на которые разбита вся совокупность.
• Частоты ($n_i$) — количество наблюдений, попавших в каждый конкретный интервал.
• Объем совокупности ($N = \sum n_i$) и относительные частоты ($w_i = n_i/N$) для каждого интервала.
• Показатели центральной тенденции:
  • Модальный интервал — это интервал с наибольшей частотой. Сама мода ($Mo$) вычисляется приблизительно по формуле, учитывающей частоты модального и соседних с ним интервалов: $Mo \approx x_0 + h \cdot \frac{n_{Mo} - n_{Mo-1}}{(n_{Mo} - n_{Mo-1}) + (n_{Mo} - n_{Mo+1})}$, где $x_0$ — нижняя граница модального интервала.
  • Медианный интервал — это интервал, в котором находится медиана (значение, делящее совокупность пополам). Точное значение медианы ($Me$) также вычисляется приблизительно по формуле: $Me \approx x_0 + h \cdot \frac{0.5N - S_{Me-1}}{n_{Me}}$, где $x_0$ — нижняя граница медианного интервала, а $S_{Me-1}$ — накопленная частота предшествующего интервала.
• Приблизительные значения других показателей:

  Поскольку точные значения отсутствуют, для расчета средней, дисперсии и других подобных характеристик вводят допущение: все значения внутри интервала условно заменяются его серединой ($x_i'$). После этого расчеты производятся как для дискретного ряда, но полученные результаты являются приближенными.

  • Приблизительная средняя арифметическая: $\bar{x} \approx \frac{\sum x_i' n_i}{\sum n_i}$.
  • Приблизительная дисперсия: $\sigma^2 \approx \frac{\sum (x_i' - \bar{x})^2 n_i}{\sum n_i}$.
  • Приблизительное среднее квадратическое отклонение: $\sigma \approx \sqrt{\sigma^2}$.

Таким образом, интервальный ряд дает общее представление о структуре совокупности, но ценой за группировку данных является потеря точности в вычислении большинства числовых характеристик.

Ответ: Из интервального вариационного ряда можно извлечь частоты попадания значений в определенные интервалы, определить модальный и медианный интервалы, а также рассчитать приблизительные значения моды, медианы, средней арифметической, дисперсии и других показателей вариации, используя середины интервалов в качестве представительных значений.