Номер 6.9, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

6.9. Исследуйте функцию на четность:

1) $f(x) = x \cdot \arcsin 2x;$

2) $f(x) = x \cdot \operatorname{arctg} 2x;$

3) $f(x) = x \cdot \arccos x;$

4) $f(x) = x^2 \cdot \cos 2x + \sqrt{|x|}.$

1) $f(x) = x \cdot \arcsin2x$;

Для исследования функции на четность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат.

2. Должно выполняться одно из равенств: $f(-x) = f(x)$ (функция четная) или $f(-x) = -f(x)$ (функция нечетная).

Найдем область определения функции $f(x) = x \cdot \arcsin(2x)$.

Аргумент функции арксинус должен находиться в пределах от -1 до 1:

$-1 \le 2x \le 1$

$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$

Область определения $D(f) = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$. Этот промежуток симметричен относительно нуля, поэтому первое условие выполняется.

Теперь найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x) \cdot \arcsin(2(-x)) = -x \cdot \arcsin(-2x)$.

Используем свойство нечетности арксинуса: $\arcsin(-u) = -\arcsin(u)$.

$f(-x) = -x \cdot (-\arcsin(2x)) = x \cdot \arcsin(2x)$.

Получили, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной.

Ответ: функция четная.

2) $f(x) = x \cdot \operatorname{arctg}2x$;

Найдем область определения функции. Функция арктангенс определена для любых действительных значений аргумента, поэтому область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Область определения симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x) \cdot \operatorname{arctg}(2(-x)) = -x \cdot \operatorname{arctg}(-2x)$.

Используем свойство нечетности арктангенса: $\operatorname{arctg}(-u) = -\operatorname{arctg}(u)$.

$f(-x) = -x \cdot (-\operatorname{arctg}(2x)) = x \cdot \operatorname{arctg}(2x)$.

Получили, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной.

Ответ: функция четная.

3) $f(x) = x \cdot \arccos x$;

Найдем область определения функции. Аргумент функции арккосинус должен находиться в пределах от -1 до 1:

$-1 \le x \le 1$

Область определения $D(f) = [-1; 1]$. Этот промежуток симметричен относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x) \cdot \arccos(-x)$.

Используем свойство функции арккосинус: $\arccos(-u) = \pi - \arccos(u)$.

$f(-x) = -x \cdot (\pi - \arccos(x)) = -x\pi + x \cdot \arccos(x) = -x\pi + f(x)$.

Проверим условия четности и нечетности.

Равенство $f(-x) = f(x)$ не выполняется, так как $-x\pi + f(x) = f(x)$ приводит к $-x\pi = 0$, что верно только при $x=0$, а не для всех $x$ из области определения.

Равенство $f(-x) = -f(x)$ не выполняется, так как $-x\pi + f(x) = -f(x)$ приводит к $-x\pi = -2f(x)$, то есть $-x\pi = -2x \arccos(x)$, что эквивалентно $\arccos(x) = \frac{\pi}{2}$ (при $x \neq 0$), и верно только для $x=0$.

Так как ни одно из условий не выполняется для всех $x$ из $D(f)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция ни четная, ни нечетная (общего вида).

4) $f(x) = x^2 \cdot \cos2x + \sqrt{|x|}$;

Найдем область определения функции. Выражение $\sqrt{|x|}$ определено для всех действительных $x$, так как $|x| \ge 0$. Функции $x^2$ и $\cos(2x)$ также определены для всех $x$. Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^2 \cdot \cos(2(-x)) + \sqrt{|-x|}$.

Используем свойства: $(-x)^2 = x^2$, четность косинуса $\cos(-u) = \cos(u)$ и свойство модуля $|-x| = |x|$.

$f(-x) = x^2 \cdot \cos(2x) + \sqrt{|x|}$.

Получили, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной.

Ответ: функция четная.