Номер 9.13, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

9.13. Вычислите:

1) $ \sqrt[3]{16+8\sqrt{5}} - \sqrt[3]{16-8\sqrt{5}} $

2) $ \sqrt[3]{26-15\sqrt{3}} + \sqrt[3]{26+15\sqrt{3}} $

3) $ \sqrt[4]{125} \cdot \sqrt{5} : (\sqrt{5\sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{200}) $

4) $ \sqrt{3\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{1125} : (\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt{5\sqrt[3]{5}}) $

5) $ \sqrt{\sqrt{3}} \cdot (\sqrt[3]{\sqrt{3}} : \sqrt{\sqrt{3}})^2 $

6) $ \sqrt{5\sqrt{5}} : \sqrt{\sqrt[3]{5}\sqrt{5}} \cdot \sqrt{5\sqrt[3]{5}} $

7) $ \sqrt[3]{2\sqrt[3]{4\sqrt[3]{2\sqrt[3]{4...}}}} $

8) $ \sqrt[5]{3\sqrt[3]{9\sqrt[5]{3\sqrt[3]{9...}}}} $

1)Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{16 + 8\sqrt{5}} - \sqrt[3]{16 - 8\sqrt{5}}$ воспользуемся формулой куба суммы/разности $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$.Попробуем представить подкоренное выражение $16 + 8\sqrt{5}$ в виде $(a + b\sqrt{5})^3$.$(a + b\sqrt{5})^3 = a^3 + 3a^2(b\sqrt{5}) + 3a(b\sqrt{5})^2 + (b\sqrt{5})^3 = (a^3 + 15ab^2) + (3a^2b + 5b^3)\sqrt{5}$.Приравняем коэффициенты:$\begin{cases} a^3 + 15ab^2 = 16 \\ 3a^2b + 5b^3 = 8 \end{cases}$Подбором находим целые решения. Пусть $a=1, b=1$.Проверяем первое уравнение: $1^3 + 15(1)(1)^2 = 1 + 15 = 16$. Верно.Проверяем второе уравнение: $3(1)^2(1) + 5(1)^3 = 3 + 5 = 8$. Верно.Таким образом, $16 + 8\sqrt{5} = (1 + \sqrt{5})^3$. Аналогично, $16 - 8\sqrt{5} = (1 - \sqrt{5})^3$.Подставляем в исходное выражение:$\sqrt[3]{(1 + \sqrt{5})^3} - \sqrt[3]{(1 - \sqrt{5})^3} = (1 + \sqrt{5}) - (1 - \sqrt{5}) = 1 + \sqrt{5} - 1 + \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.

Ответ: $2\sqrt{5}$.

2)Для вычисления $\sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}} + \sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}}$ также ищем вид $(a \pm b\sqrt{3})^3$.$(a + b\sqrt{3})^3 = a^3 + 3a^2(b\sqrt{3}) + 3a(b\sqrt{3})^2 + (b\sqrt{3})^3 = (a^3 + 9ab^2) + (3a^2b + 3b^3)\sqrt{3}$.Приравняем коэффициенты к $26 + 15\sqrt{3}$:$\begin{cases} a^3 + 9ab^2 = 26 \\ 3a^2b + 3b^3 = 15 \end{cases}$Из второго уравнения: $3b(a^2 + b^2) = 15$, то есть $b(a^2 + b^2) = 5$.Так как 5 - простое число, предположим, что $b=1$. Тогда $a^2 + 1^2 = 5$, откуда $a^2 = 4$ и $a=2$ (берем положительное значение).Проверим первое уравнение с $a=2, b=1$: $2^3 + 9(2)(1)^2 = 8 + 18 = 26$. Верно.Следовательно, $26 + 15\sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^3$ и $26 - 15\sqrt{3} = (2 - \sqrt{3})^3$.Подставляем в выражение:$\sqrt[3]{(2 - \sqrt{3})^3} + \sqrt[3]{(2 + \sqrt{3})^3} = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$.

Ответ: 4.

3)Вычислим $\sqrt[4]{125} \cdot \sqrt{5} : (\sqrt{5\sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{200})$.Преобразуем выражение по частям.Сначала вычислим произведение:$\sqrt[4]{125} \cdot \sqrt{5} = \sqrt[4]{5^3} \cdot \sqrt[4]{5^2} = \sqrt[4]{5^3 \cdot 5^2} = \sqrt[4]{5^5} = 5\sqrt[4]{5}$.Теперь вычислим выражение в скобках:$\sqrt{5\sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{200} = \sqrt{\sqrt{5^2 \cdot 2}} \cdot \sqrt[4]{200} = \sqrt[4]{50} \cdot \sqrt[4]{200} = \sqrt[4]{50 \cdot 200} = \sqrt[4]{10000} = \sqrt[4]{10^4} = 10$.Выполним деление:$(5\sqrt[4]{5}) : 10 = \frac{5\sqrt[4]{5}}{10} = \frac{\sqrt[4]{5}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt[4]{5}}{2}$.

4)Вычислим $\sqrt{3\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{1125} : (\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt{5\sqrt[3]{5}})$.Перейдем к степеням с рациональными показателями.Преобразуем делимое:$\sqrt{3\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{1125} = (3 \cdot 5^{1/2})^{1/2} \cdot (1125)^{1/4} = 3^{1/2} \cdot 5^{1/4} \cdot (3^2 \cdot 5^3)^{1/4} = 3^{1/2} \cdot 5^{1/4} \cdot 3^{2/4} \cdot 5^{3/4} = 3^{1/2} \cdot 5^{1/4} \cdot 3^{1/2} \cdot 5^{3/4} = 3^{1/2+1/2} \cdot 5^{1/4+3/4} = 3^1 \cdot 5^1 = 15$.Преобразуем делитель в скобках:$\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt{5\sqrt[3]{5}} = 5^{1/3} \cdot (5 \cdot 5^{1/3})^{1/2} = 5^{1/3} \cdot (5^{4/3})^{1/2} = 5^{1/3} \cdot 5^{4/6} = 5^{1/3} \cdot 5^{2/3} = 5^{1/3+2/3} = 5^1 = 5$.Выполним деление:$15 : 5 = 3$.

Ответ: 3.

5)Вычислим $\sqrt{\sqrt{3}} \cdot (\sqrt[3]{\sqrt{3}} : \sqrt{\sqrt[3]{3}})^2$.Преобразуем каждый член выражения, используя свойство $( \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a} )$:$\sqrt{\sqrt{3}} = \sqrt[2 \cdot 2]{3} = \sqrt[4]{3}$.$\sqrt[3]{\sqrt{3}} = \sqrt[3 \cdot 2]{3} = \sqrt[6]{3}$.$\sqrt{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[2 \cdot 3]{3} = \sqrt[6]{3}$.Подставим преобразованные значения в исходное выражение:$\sqrt[4]{3} \cdot (\sqrt[6]{3} : \sqrt[6]{3})^2 = \sqrt[4]{3} \cdot (1)^2 = \sqrt[4]{3}$.

Ответ: $\sqrt[4]{3}$.

6)Вычислим $\sqrt{5\sqrt{5}} : \sqrt[3]{5\sqrt{5\sqrt{5}}}$.Перейдем к степеням с рациональными показателями.Числитель: $\sqrt{5\sqrt{5}} = (5 \cdot 5^{1/2})^{1/2} = (5^{3/2})^{1/2} = 5^{3/4}$.Знаменатель: $\sqrt[3]{5\sqrt{5\sqrt{5}}} = (5 \cdot (5 \cdot 5^{1/2})^{1/2})^{1/3} = (5 \cdot (5^{3/2})^{1/2})^{1/3} = (5 \cdot 5^{3/4})^{1/3} = (5^{7/4})^{1/3} = 5^{7/12}$.Выполним деление:$5^{3/4} : 5^{7/12} = 5^{3/4 - 7/12} = 5^{9/12 - 7/12} = 5^{2/12} = 5^{1/6} = \sqrt[6]{5}$.

Ответ: $\sqrt[6]{5}$.

7)Вычислим значение бесконечного радикала $\sqrt[3]{2\sqrt[3]{4\sqrt[3]{2\sqrt[3]{4...}}}}$.Обозначим все выражение через $x$:$x = \sqrt[3]{2\sqrt[3]{4\sqrt[3]{2\sqrt[3]{4...}}}}$.Заметим, что структура радикала периодически повторяется. Мы можем записать:$x = \sqrt[3]{2\sqrt[3]{4x}}$.Возведем обе части уравнения в куб:$x^3 = 2\sqrt[3]{4x}$.Возведем обе части еще раз в куб:$(x^3)^3 = (2\sqrt[3]{4x})^3 \implies x^9 = 2^3 \cdot 4x \implies x^9 = 8 \cdot 4x \implies x^9 = 32x$.$x^9 - 32x = 0 \implies x(x^8 - 32) = 0$.Так как $x$ очевидно является положительным числом ($x > 0$), то $x^8 = 32$.$x = \sqrt[8]{32} = \sqrt[8]{2^5} = 2^{5/8}$.

Ответ: $2^{5/8}$.

8)Вычислим значение бесконечного радикала $\sqrt[5]{3\sqrt[5]{9\sqrt[5]{3\sqrt[5]{9...}}}}$.Обозначим все выражение через $x$:$x = \sqrt[5]{3\sqrt[5]{9\sqrt[5]{3\sqrt[5]{9...}}}}$.Здесь также наблюдается периодичность. Выражение можно записать как:$x = \sqrt[5]{3\sqrt[5]{9x}}$.Возведем обе части уравнения в 5-ю степень:$x^5 = 3\sqrt[5]{9x}$.Возведем обе части еще раз в 5-ю степень:$(x^5)^5 = (3\sqrt[5]{9x})^5 \implies x^{25} = 3^5 \cdot 9x \implies x^{25} = 3^5 \cdot 3^2 \cdot x \implies x^{25} = 3^7x$.$x^{25} - 3^7x = 0 \implies x(x^{24} - 3^7) = 0$.Поскольку $x > 0$, имеем $x^{24} = 3^7$.Отсюда $x = (3^7)^{1/24} = 3^{7/24}$.

Ответ: $3^{7/24}$.