Номер 10.1, страница 84 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10.1. Запишите следующие степени с дробными показателями в виде корней:

1) $11^{\frac{2}{3}}$;

2) $0,7^{-\frac{5}{4}}$;

3) $(\frac{3}{10})^{0.75}$;

4) $(-21)^{\frac{6}{5}}$;

5) $a^{-2.5}$;

6) $(b+1)^{1.5}$;

7) $(a - 2b)^{\frac{7}{2}}$;

8) $(x - y^2)^{-\frac{7}{4}}$.

1) Чтобы записать степень с дробным показателем в виде корня, используется формула $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a$ — основание степени, $m$ — числитель показателя, $n$ — знаменатель показателя.

Для выражения $11^{\frac{2}{3}}$, основание $a = 11$, числитель $m = 2$, знаменатель $n = 3$.

Применяя формулу, получаем: $11^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{11^2}$.

Ответ: $\sqrt[3]{11^2}$.

2) Для выражения $0,7^{-\frac{5}{4}}$, сначала используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$:

$0,7^{-\frac{5}{4}} = \frac{1}{0,7^{\frac{5}{4}}}$.

Теперь преобразуем знаменатель по формуле $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a = 0,7$, $m = 5$, $n = 4$:

$0,7^{\frac{5}{4}} = \sqrt[4]{0,7^5}$.

Таким образом, итоговое выражение: $\frac{1}{\sqrt[4]{0,7^5}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[4]{0,7^5}}$.

3) Для выражения $(\frac{3}{10})^{0,75}$, сначала представим десятичный показатель $0,75$ в виде обыкновенной дроби: $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.

Теперь выражение имеет вид $(\frac{3}{10})^{\frac{3}{4}}$.

Применяем формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a = \frac{3}{10}$, $m = 3$, $n = 4$:

$(\frac{3}{10})^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{(\frac{3}{10})^3}$.

Ответ: $\sqrt[4]{(\frac{3}{10})^3}$.

4) Для выражения $(-21)^{1\frac{1}{5}}$, сначала преобразуем смешанное число в показателе в неправильную дробь: $1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$.

Выражение принимает вид $(-21)^{\frac{6}{5}}$.

Используя формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a = -21$, $m = 6$, $n = 5$, получаем:

$(-21)^{\frac{6}{5}} = \sqrt[5]{(-21)^6}$. Поскольку степень 6 четная, можно также записать как $\sqrt[5]{21^6}$.

Ответ: $\sqrt[5]{(-21)^6}$.

5) Для выражения $a^{-2,5}$, сначала преобразуем его, используя свойство степени с отрицательным показателем, а затем представим десятичную дробь в виде обыкновенной:

$a^{-2,5} = \frac{1}{a^{2,5}} = \frac{1}{a^{\frac{5}{2}}}$.

Теперь применим к знаменателю формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $m = 5$, $n = 2$. Корень второй степени — это квадратный корень, и показатель 2 принято не писать.

$\frac{1}{a^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{a^5}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a^5}}$.

6) Для выражения $(b+1)^{1,5}$, сначала представим показатель $1,5$ в виде дроби: $1,5 = \frac{3}{2}$.

Выражение принимает вид $(b+1)^{\frac{3}{2}}$.

Применяем формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ для основания $a = (b+1)$, где $m=3$, $n=2$:

$(b+1)^{\frac{3}{2}} = \sqrt{(b+1)^3}$.

Ответ: $\sqrt{(b+1)^3}$.

7) Для выражения $(a-2b)^{3\frac{1}{2}}$, сначала преобразуем смешанное число в показателе в неправильную дробь: $3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.

Выражение принимает вид $(a-2b)^{\frac{7}{2}}$.

Используя формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где основание $a = (a-2b)$, $m = 7$, $n = 2$, получаем:

$(a-2b)^{\frac{7}{2}} = \sqrt{(a-2b)^7}$.

Ответ: $\sqrt{(a-2b)^7}$.

8) Для выражения $(x-y^2)^{-\frac{7}{4}}$, сначала избавимся от отрицательного показателя:

$(x-y^2)^{-\frac{7}{4}} = \frac{1}{(x-y^2)^{\frac{7}{4}}}$.

Теперь преобразуем знаменатель по формуле $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где основание $a = (x-y^2)$, $m = 7$, $n = 4$:

$\frac{1}{(x-y^2)^{\frac{7}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{(x-y^2)^7}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[4]{(x-y^2)^7}}$.