Номер 10.8, страница 85 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10.8. Вычислите:

1) ${ \left(49^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{4}} };$

2) ${ \left(625^{-\frac{3}{8}}\right)^{\frac{2}{3}} };$

3) ${ \left(64^{\frac{1}{3}}\right)^{-\frac{2}{3}} };$

4) ${ \left(\left(\frac{4}{25}\right)^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{4}} };$

5) ${ \left(\left(3\frac{3}{8}\right)^{-\frac{5}{2}}\right)^{\frac{2}{15}} };$

6) ${ \left(\left(3\frac{6}{25}\right)^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{4}} }.$

1) Чтобы вычислить выражение $(49^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}}$, воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Применяя это свойство, мы перемножаем показатели степеней:

$(49^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}} = 49^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}} = 49^{\frac{6}{12}} = 49^{\frac{1}{2}}$.

Степень $\frac{1}{2}$ эквивалентна извлечению квадратного корня.

$49^{\frac{1}{2}} = \sqrt{49} = 7$.

Ответ: 7.

2) Для выражения $(625^{-\frac{3}{8}})^{\frac{2}{3}}$ применяем то же свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(625^{-\frac{3}{8}})^{\frac{2}{3}} = 625^{-\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{3}} = 625^{-\frac{6}{24}} = 625^{-\frac{1}{4}}$.

Отрицательная степень $a^{-n}$ равна $\frac{1}{a^n}$, а степень $\frac{1}{4}$ означает корень четвертой степени.

$625^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{625^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{625}}$.

Поскольку $625 = 5^4$, то $\sqrt[4]{625} = 5$.

Таким образом, результат равен $\frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

3) Вычислим $(64^{\frac{1}{4}})^{-\frac{2}{3}}$:

Перемножим показатели: $(64^{\frac{1}{4}})^{-\frac{2}{3}} = 64^{\frac{1}{4} \cdot (-\frac{2}{3})} = 64^{-\frac{2}{12}} = 64^{-\frac{1}{6}}$.

Преобразуем отрицательную степень и дробную степень:

$64^{-\frac{1}{6}} = \frac{1}{64^{\frac{1}{6}}} = \frac{1}{\sqrt[6]{64}}$.

Так как $64 = 2^6$, то $\sqrt[6]{64} = 2$.

Следовательно, результат равен $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

4) Вычислим $((\frac{4}{25})^{-\frac{2}{3}})^{-\frac{3}{4}}$:

Перемножаем показатели степеней:

$((\frac{4}{25})^{-\frac{2}{3}})^{-\frac{3}{4}} = (\frac{4}{25})^{(-\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{3}{4})} = (\frac{4}{25})^{\frac{6}{12}} = (\frac{4}{25})^{\frac{1}{2}}$.

Возводим дробь в степень $\frac{1}{2}$, что равносильно извлечению квадратного корня:

$(\frac{4}{25})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$.

5) Вычислим $((3\frac{3}{8})^{-\frac{5}{2}})^{\frac{2}{15}}$.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$.

Теперь выражение выглядит так: $((\frac{27}{8})^{-\frac{5}{2}})^{\frac{2}{15}}$.

Перемножим показатели: $(\frac{27}{8})^{-\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{15}} = (\frac{27}{8})^{-\frac{10}{30}} = (\frac{27}{8})^{-\frac{1}{3}}$.

Отрицательная степень $(\frac{a}{b})^{-n}$ переворачивает дробь: $(\frac{b}{a})^n$.

$(\frac{27}{8})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{8}{27})^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

6) Вычислим $((3\frac{6}{25})^{-\frac{2}{3}})^{-\frac{3}{4}}$.

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{6}{25} = \frac{3 \cdot 25 + 6}{25} = \frac{75 + 6}{25} = \frac{81}{25}$.

Выражение принимает вид $((\frac{81}{25})^{-\frac{2}{3}})^{-\frac{3}{4}}$.

Перемножаем показатели: $(\frac{81}{25})^{(-\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{3}{4})} = (\frac{81}{25})^{\frac{6}{12}} = (\frac{81}{25})^{\frac{1}{2}}$.

Возводим в степень $\frac{1}{2}$:

$(\frac{81}{25})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{81}{25}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{25}} = \frac{9}{5}$.

Ответ: $\frac{9}{5}$.