Номер 10.15, страница 87 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10.15. Сравните:

1) $(\frac{2}{9})^{\sqrt{5}}$ и $(\frac{2}{8})^{\sqrt{5}}$;

2) $(\frac{\sqrt{5}}{3})^{-\sqrt{3}}$ и $(\frac{3\sqrt{5}}{4})^{-\sqrt{3}}$;

3) $(\frac{\pi}{5})^{1.2}$ и $(\frac{\pi}{6})^{1.2}$;

4) $(\frac{\sqrt[4]{2}}{3})^{-2.8}$ и $(\frac{\sqrt[4]{2}}{2})^{-2.8}$.

1) Сравнить $(\frac{2}{9})^{\sqrt{5}}$ и $(\frac{2}{8})^{\sqrt{5}}$

В данном примере нам нужно сравнить два числа, возведенные в одинаковую степень. Показатель степени $\sqrt{5}$ является положительным числом, так как $5 > 0$.

Рассмотрим степенную функцию $y = x^c$ с показателем $c = \sqrt{5}$. Так как показатель степени $c = \sqrt{5} > 0$, эта функция является возрастающей для всех положительных $x$. Это означает, что для любых положительных чисел $a$ и $b$, если $a < b$, то $a^c < b^c$.

Теперь сравним основания степеней: $\frac{2}{9}$ и $\frac{2}{8}$.

Сократим вторую дробь: $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$. Теперь сравним $\frac{2}{9}$ и $\frac{1}{4}$. Приведем дроби к общему знаменателю $36$:

$\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{8}{36}$

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{9}{36}$

Так как $8 < 9$, то $\frac{8}{36} < \frac{9}{36}$, следовательно, $\frac{2}{9} < \frac{2}{8}$.

Поскольку основания положительны, $\frac{2}{9} < \frac{2}{8}$, а функция $y = x^{\sqrt{5}}$ является возрастающей, то и значения степеней будут находиться в том же соотношении:

$(\frac{2}{9})^{\sqrt{5}} < (\frac{2}{8})^{\sqrt{5}}$.

Ответ: $(\frac{2}{9})^{\sqrt{5}} < (\frac{2}{8})^{\sqrt{5}}$.

2) Сравнить $(\frac{\sqrt{5}}{3})^{-\sqrt{3}}$ и $(\frac{3\sqrt{5}}{4})^{-\sqrt{3}}$

В этом примере мы также сравниваем два числа, возведенные в одинаковую степень. Показатель степени $-\sqrt{3}$ является отрицательным числом, так как $\sqrt{3} > 0$.

Рассмотрим степенную функцию $y = x^c$ с показателем $c = -\sqrt{3}$. Так как показатель степени $c = -\sqrt{3} < 0$, эта функция является убывающей для всех положительных $x$. Это означает, что для любых положительных чисел $a$ и $b$, если $a < b$, то $a^c > b^c$.

Сравним основания степеней: $\frac{\sqrt{5}}{3}$ и $\frac{3\sqrt{5}}{4}$.

Чтобы сравнить эти дроби, мы можем сравнить $\frac{1}{3}$ и $\frac{3}{4}$, так как общий множитель $\sqrt{5} > 0$ не влияет на знак неравенства.

$\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$ и $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$. Так как $4 < 9$, то $\frac{1}{3} < \frac{3}{4}$.

Следовательно, $\frac{\sqrt{5}}{3} < \frac{3\sqrt{5}}{4}$.

Поскольку основания положительны, $\frac{\sqrt{5}}{3} < \frac{3\sqrt{5}}{4}$, а функция $y = x^{-\sqrt{3}}$ является убывающей, то знак неравенства для степеней будет обратным:

$(\frac{\sqrt{5}}{3})^{-\sqrt{3}} > (\frac{3\sqrt{5}}{4})^{-\sqrt{3}}$.

Ответ: $(\frac{\sqrt{5}}{3})^{-\sqrt{3}} > (\frac{3\sqrt{5}}{4})^{-\sqrt{3}}$.

3) Сравнить $(\frac{\pi}{5})^{1.2}$ и $(\frac{\pi}{6})^{1.2}$

Показатели степеней одинаковы и равны $1.2$. Так как $1.2 > 0$, показатель степени является положительным.

Рассмотрим степенную функцию $y = x^c$ с показателем $c = 1.2$. Поскольку $c > 0$, эта функция является возрастающей для всех $x > 0$. Это значит, что для положительных оснований $a$ и $b$, если $a > b$, то $a^c > b^c$.

Теперь сравним основания: $\frac{\pi}{5}$ и $\frac{\pi}{6}$.

Так как $5 < 6$, то их обратные величины соотносятся как $\frac{1}{5} > \frac{1}{6}$. Поскольку число $\pi \approx 3.14159$ положительно, мы можем умножить обе части неравенства на $\pi$, не меняя знака:

$\frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{6}$.

Основания положительны, $\frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{6}$, и функция $y = x^{1.2}$ является возрастающей. Следовательно, значения степеней будут находиться в том же соотношении:

$(\frac{\pi}{5})^{1.2} > (\frac{\pi}{6})^{1.2}$.

Ответ: $(\frac{\pi}{5})^{1.2} > (\frac{\pi}{6})^{1.2}$.

4) Сравнить $(\frac{\sqrt[4]{2}}{3})^{-2.8}$ и $(\frac{\sqrt[4]{2}}{2})^{-2.8}$

Показатели степеней одинаковы и равны $-2.8$. Так как $-2.8 < 0$, показатель степени является отрицательным.

Рассмотрим степенную функцию $y = x^c$ с показателем $c = -2.8$. Поскольку $c < 0$, эта функция является убывающей для всех $x > 0$. Это значит, что для положительных оснований $a$ и $b$, если $a < b$, то $a^c > b^c$.

Теперь сравним основания: $\frac{\sqrt[4]{2}}{3}$ и $\frac{\sqrt[4]{2}}{2}$.

Обе дроби имеют одинаковый положительный числитель $\sqrt[4]{2}$. Знаменатели равны $3$ и $2$. Так как $3 > 2$, то для обратных величин справедливо $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$. Умножив на положительное число $\sqrt[4]{2}$, получим:

$\frac{\sqrt[4]{2}}{3} < \frac{\sqrt[4]{2}}{2}$.

Основания положительны, $\frac{\sqrt[4]{2}}{3} < \frac{\sqrt[4]{2}}{2}$, и функция $y = x^{-2.8}$ является убывающей. Следовательно, знак неравенства для степеней изменится на противоположный:

$(\frac{\sqrt[4]{2}}{3})^{-2.8} > (\frac{\sqrt[4]{2}}{2})^{-2.8}$.

Ответ: $(\frac{\sqrt[4]{2}}{3})^{-2.8} > (\frac{\sqrt[4]{2}}{2})^{-2.8}$.