Номер 10.17, страница 87 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10.17. 1) $ \frac{2a^{-\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}-3a^{-\frac{1}{3}}} - \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{5}{3}}-a^{\frac{2}{3}}} - \frac{a+1}{a^2-4a+3}; $

2) $ \left(\frac{x^{\frac{4}{3}}+8x^{\frac{1}{3}}y}{x^{\frac{2}{3}}-2\sqrt[3]{xy}+4y^{\frac{2}{3}}} - 2\sqrt[3]{xy}\right)^6 $

1) Упростим данное выражение по частям. Рассмотрим каждую дробь отдельно.

Первая дробь: $\frac{2a^{-\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} - 3a^{-\frac{1}{3}}}$. Чтобы избавиться от отрицательного показателя степени, умножим числитель и знаменатель на $a^{\frac{1}{3}}$:

$\frac{2a^{-\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{3}}}{(a^{\frac{2}{3}} - 3a^{-\frac{1}{3}}) \cdot a^{\frac{1}{3}}} = \frac{2a^{-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} - 3a^{-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}} = \frac{2a^0}{a^1 - 3a^0} = \frac{2 \cdot 1}{a - 3 \cdot 1} = \frac{2}{a-3}$.

Вторая дробь: $\frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{2}{3}}}$. Вынесем в знаменателе общий множитель $a^{\frac{2}{3}}$ за скобки:

$\frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{5}{3}-\frac{2}{3}} - 1)} = \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{3}{3}} - 1)} = \frac{1}{a-1}$.

Третья дробь: $\frac{a+1}{a^2 - 4a + 3}$. Разложим квадратный трехчлен в знаменателе на множители. Для этого решим уравнение $a^2 - 4a + 3 = 0$. По теореме Виета корни равны $a_1=1$ и $a_2=3$. Следовательно, $a^2 - 4a + 3 = (a-1)(a-3)$.

Дробь принимает вид: $\frac{a+1}{(a-1)(a-3)}$.

Теперь соберем все упрощенные дроби вместе:

$\frac{2}{a-3} - \frac{1}{a-1} - \frac{a+1}{(a-1)(a-3)}$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $(a-1)(a-3)$:

$\frac{2(a-1)}{(a-3)(a-1)} - \frac{1(a-3)}{(a-1)(a-3)} - \frac{a+1}{(a-1)(a-3)} = \frac{2(a-1) - (a-3) - (a+1)}{(a-1)(a-3)}$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2a - 2 - a + 3 - a - 1}{(a-1)(a-3)} = \frac{(2a - a - a) + (-2 + 3 - 1)}{(a-1)(a-3)} = \frac{0a + 0}{(a-1)(a-3)} = \frac{0}{(a-1)(a-3)} = 0$.

Ответ: $0$.

2) Упростим выражение $(\frac{x^{\frac{4}{3}} + 8x^{\frac{1}{3}}y}{x^{\frac{2}{3}} - 2\sqrt[3]{xy} + 4y^{\frac{2}{3}}} - 2\sqrt[3]{xy})^6$.

Сначала преобразуем выражение в скобках. Начнем с дроби. Перепишем все корни в виде степеней: $2\sqrt[3]{xy} = 2(xy)^{\frac{1}{3}} = 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$.

Дробь имеет вид: $\frac{x^{\frac{4}{3}} + 8x^{\frac{1}{3}}y}{x^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}}}$.

Рассмотрим знаменатель: $x^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}} = (x^{\frac{1}{3}})^2 - 2(x^{\frac{1}{3}})(2y^{\frac{1}{3}}) + (2y^{\frac{1}{3}})^2$. Это выражение является неполным квадратом разности для $A = x^{\frac{1}{3}}$ и $B = 2y^{\frac{1}{3}}$, т.е. $A^2 - AB + B^2$.

Теперь рассмотрим числитель. Вынесем общий множитель $x^{\frac{1}{3}}$ за скобки:

$x^{\frac{4}{3}} + 8x^{\frac{1}{3}}y = x^{\frac{1}{3}}(x + 8y)$.

Выражение в скобках $x+8y$ можно представить как сумму кубов: $x+8y = (x^{\frac{1}{3}})^3 + (2y^{\frac{1}{3}})^3 = A^3 + B^3$.

Таким образом, дробь представляет собой отношение $\frac{x^{\frac{1}{3}}(A^3+B^3)}{A^2-AB+B^2}$.

Используя формулу суммы кубов $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$, упростим дробь:

$\frac{x^{\frac{1}{3}}(A+B)(A^2-AB+B^2)}{A^2-AB+B^2} = x^{\frac{1}{3}}(A+B)$.

Подставим обратно значения $A$ и $B$:

$x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} + 2y^{\frac{1}{3}}) = x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 2y^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}} + 2\sqrt[3]{xy}$.

Теперь подставим упрощенную дробь обратно в выражение в больших скобках:

$(x^{\frac{2}{3}} + 2\sqrt[3]{xy}) - 2\sqrt[3]{xy} = x^{\frac{2}{3}}$.

Осталось возвести полученный результат в шестую степень:

$(x^{\frac{2}{3}})^6 = x^{\frac{2}{3} \cdot 6} = x^{\frac{12}{3}} = x^4$.

Ответ: $x^4$.