Номер 10.5, страница 85 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10.5. Упростите:

1) $a^{1\over 4} : a^{3\over 8}$;

2) $(x+y)^{4\over 5} : (x+y)^{2\over 5}$;

3) $a^{2\over 3} \cdot x^{3\over 5} \cdot a^{3\over 4} \cdot x^{2\over 3}$;

4) $b^{7\over 12} \cdot y^{5\over 6} \cdot b^{2\over 3} \cdot y^{3\over 4}$.

1) Для упрощения выражения $a^{1\frac{3}{4}} : a^{\frac{2}{3}}$ воспользуемся свойством степеней: при делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются ($x^m : x^n = x^{m-n}$).

Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{3}{4}$ в неправильную дробь: $1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$.

Теперь выражение имеет вид $a^{\frac{7}{4}} : a^{\frac{2}{3}}$.

Вычтем показатели степеней, предварительно приведя дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{7}{4} - \frac{2}{3} = \frac{7 \cdot 3}{12} - \frac{2 \cdot 4}{12} = \frac{21 - 8}{12} = \frac{13}{12}$.

Таким образом, итоговое выражение равно $a^{\frac{13}{12}}$.

Ответ: $a^{\frac{13}{12}}$

2) Для упрощения выражения $(x+y)^{\frac{4}{5}} : (x+y)^{\frac{2}{5}}$ используем то же свойство степеней: $b^m : b^n = b^{m-n}$, где в качестве основания $b$ выступает выражение $(x+y)$.

Вычитаем показатели степеней:

$\frac{4}{5} - \frac{2}{5} = \frac{4-2}{5} = \frac{2}{5}$.

Следовательно, результат упрощения — $(x+y)^{\frac{2}{5}}$.

Ответ: $(x+y)^{\frac{2}{5}}$

3) Чтобы упростить выражение $a^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{3}{5}} \cdot a^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{2}{3}}$, сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и воспользуемся свойством умножения степеней: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Группируем множители: $(a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{3}{4}}) \cdot (x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{2}{3}})$.

Для основания $a$ складываем показатели, приводя к общему знаменателю 12:

$\frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{12} = \frac{8+9}{12} = \frac{17}{12}$.

Для основания $x$ складываем показатели, приводя к общему знаменателю 15:

$\frac{3}{5} + \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15} = \frac{9+10}{15} = \frac{19}{15}$.

Объединяем полученные результаты: $a^{\frac{17}{12}}x^{\frac{19}{15}}$.

Ответ: $a^{\frac{17}{12}}x^{\frac{19}{15}}$

4) Упростим выражение $b^{\frac{7}{12}} \cdot y^{\frac{5}{6}} \cdot b^{\frac{2}{3}} \cdot y^{\frac{3}{4}}$, действуя аналогично предыдущему пункту.

Группируем множители с одинаковыми основаниями: $(b^{\frac{7}{12}} \cdot b^{\frac{2}{3}}) \cdot (y^{\frac{5}{6}} \cdot y^{\frac{3}{4}})$.

Для основания $b$ складываем показатели, приводя к общему знаменателю 12:

$\frac{7}{12} + \frac{2}{3} = \frac{7}{12} + \frac{2 \cdot 4}{12} = \frac{7+8}{12} = \frac{15}{12}$. Сокращаем полученную дробь: $\frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.

Для основания $y$ складываем показатели, приводя к общему знаменателю 12:

$\frac{5}{6} + \frac{3}{4} = \frac{5 \cdot 2}{12} + \frac{3 \cdot 3}{12} = \frac{10+9}{12} = \frac{19}{12}$.

Итоговое выражение: $b^{\frac{5}{4}}y^{\frac{19}{12}}$.

Ответ: $b^{\frac{5}{4}}y^{\frac{19}{12}}$