Номер 13.3, страница 106 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13.3. Найдите неопределенный интеграл функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$;

2) $f(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}$;

3) $f(x) = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{5}}$;

4) $f(x) = x^{-\frac{7}{8}}$.

1) Чтобы найти неопределенный интеграл функции $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, необходимо сначала представить ее в виде степенной функции.

$f(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}$

Теперь воспользуемся основной формулой интегрирования для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = \int \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{2} \int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = x^{\frac{1}{2}} + C = \sqrt{x} + C$.

Ответ: $\sqrt{x} + C$.

2) Найдем неопределенный интеграл функции $f(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^3}}$.

Сначала упростим выражение для функции. Так как кубический корень из $x^3$ равен $x$ (т.е. $\sqrt[3]{x^3} = x$), то:

$f(x) = \frac{2}{3x} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x}$.

Теперь интегрируем, используя табличный интеграл для функции $\frac{1}{x}$, который равен $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$.

$\int \frac{2}{3x} dx = \frac{2}{3} \int \frac{1}{x} dx = \frac{2}{3} \ln|x| + C$.

Ответ: $\frac{2}{3} \ln|x| + C$.

3) Найдем неопределенный интеграл функции $f(x) = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{5}}$.

Применяем формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $n = \frac{4}{5}$.

$\int \frac{3}{4} x^{\frac{4}{5}} dx = \frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{5}} dx = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{\frac{4}{5}+1}}{\frac{4}{5}+1} + C = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{\frac{9}{5}}}{\frac{9}{5}} + C$.

Упростим полученное выражение:

$\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}} + C = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 9} x^{\frac{9}{5}} + C = \frac{15}{36} x^{\frac{9}{5}} + C = \frac{5}{12} x^{\frac{9}{5}} + C$.

Ответ: $\frac{5}{12} x^{\frac{9}{5}} + C$.

4) Найдем неопределенный интеграл функции $f(x) = x^{-\frac{7}{8}}$.

И снова используем формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $n = -\frac{7}{8}$.

$\int x^{-\frac{7}{8}} dx = \frac{x^{-\frac{7}{8}+1}}{-\frac{7}{8}+1} + C = \frac{x^{\frac{1}{8}}}{\frac{1}{8}} + C = 8x^{\frac{1}{8}} + C$.

Ответ: $8x^{\frac{1}{8}} + C$.