Номер 13.13, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13.13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = -x^2 + 2x, y = -3;$

2) $y = \sqrt{x}, y = 2, x = 9.$

1) Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y = -x^2 + 2x$ и прямой $y = -3$, сначала найдем точки их пересечения, приравняв уравнения: $-x^2 + 2x = -3$.

Перенесем все члены в одну сторону: $x^2 - 2x - 3 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Это будут наши пределы интегрирования.

Парабола $y = -x^2 + 2x$ имеет ветви, направленные вниз. Ее вершина находится в точке $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1$, $y = -(1)^2 + 2(1) = 1$. Вершина $(1, 1)$ находится выше прямой $y = -3$. Следовательно, в промежутке от $-1$ до $3$ график параболы находится над графиком прямой.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{-1}^{3} ((-x^2 + 2x) - (-3)) \,dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \,dx$.

Вычислим определенный интеграл, найдя первообразную:$F(x) = \int (-x^2 + 2x + 3) \,dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + 3x = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $S = F(b) - F(a)$:

$S = \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x\right)\bigg|_{-1}^{3} = \left(-\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \cdot 3\right) - \left(-\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3 \cdot (-1)\right)$

$S = \left(-\frac{27}{3} + 9 + 9\right) - \left(\frac{1}{3} + 1 - 3\right) = (-9 + 18) - \left(\frac{1}{3} - 2\right) = 9 - \left(-\frac{5}{3}\right) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27+5}{3} = \frac{32}{3}$.

Ответ: $\frac{32}{3}$.

2) Фигура ограничена линиями $y = \sqrt{x}$, $y = 2$ и $x = 9$. Сначала найдем точки пересечения этих линий, чтобы определить границы области интегрирования.

Найдем точку пересечения $y = \sqrt{x}$ и $y = 2$: $\sqrt{x} = 2$, откуда $x = 4$.

Таким образом, фигура ограничена снизу прямой $y=2$, сверху кривой $y=\sqrt{x}$, слева абсциссой их пересечения $x=4$ и справа прямой $x=9$. На промежутке $[4, 9]$ график функции $y=\sqrt{x}$ лежит выше прямой $y=2$.

Площадь фигуры можно вычислить как интеграл разности верхней функции ($y = \sqrt{x}$) и нижней функции ($y=2$) в пределах от $x=4$ до $x=9$:

$S = \int_{4}^{9} (\sqrt{x} - 2) \,dx$.

Найдем первообразную подынтегральной функции:$F(x) = \int (\sqrt{x} - 2) \,dx = \int (x^{1/2} - 2) \,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} - 2x = \frac{2}{3}x^{3/2} - 2x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left(\frac{2}{3}x^{3/2} - 2x\right)\bigg|_{4}^{9} = \left(\frac{2}{3} \cdot 9^{3/2} - 2 \cdot 9\right) - \left(\frac{2}{3} \cdot 4^{3/2} - 2 \cdot 4\right)$.

Вычислим значения степеней: $9^{3/2} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$ и $4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$.

Подставим эти значения обратно в выражение:

$S = \left(\frac{2}{3} \cdot 27 - 18\right) - \left(\frac{2}{3} \cdot 8 - 8\right) = (18 - 18) - \left(\frac{16}{3} - \frac{24}{3}\right) = 0 - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$.