Номер 13.24, страница 108 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13.24. Постройте график функции $y = |x^2 - 2x - 8|$. Найдите:

1) промежутки монотонности функции;

2) ось симметрии графика функции;

3) значения параметра $p$, при которых уравнение $p = |x^2 - 2x - 8|$ имеет четыре корня.

Для построения графика функции $y = |x^2 - 2x - 8|$, сначала построим график параболы $f(x) = x^2 - 2x - 8$.

1. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный).

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

$y_v = f(1) = 1^2 - 2(1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$.

Вершина параболы находится в точке $(1, -9)$.

3. Найдем нули функции (точки пересечения с осью Ox), решив уравнение $x^2 - 2x - 8 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.

Парабола пересекает ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(4, 0)$.

4. Найдем точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$.

$y = 0^2 - 2(0) - 8 = -8$. Точка пересечения $(0, -8)$.

Теперь построим график функции $y = |x^2 - 2x - 8|$. График этой функции получается из графика параболы $y = x^2 - 2x - 8$ следующим образом: часть графика, которая находится выше или на оси Ox (где $y \ge 0$), остается без изменений. Часть графика, которая находится ниже оси Ox (где $y < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox.

Парабола $y = x^2 - 2x - 8$ находится ниже оси Ox на интервале $(-2, 4)$. Эта часть графика отражается вверх. Вершина параболы $(1, -9)$ переходит в точку $(1, 9)$, которая становится точкой локального максимума для функции $y = |x^2 - 2x - 8|$. Точки $(-2, 0)$ и $(4, 0)$ становятся точками локального минимума.

В итоге график состоит из двух частей параболы $y = x^2 - 2x - 8$ на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[4, +\infty)$, и одной части параболы $y = -(x^2 - 2x - 8) = -x^2 + 2x + 8$ на промежутке $(-2, 4)$.

1) промежутки монотонности функции;

Анализируя построенный график, определяем промежутки возрастания и убывания функции.

Функция убывает от $+\infty$ до $x=-2$, достигая локального минимума в точке $(-2, 0)$.

Затем функция возрастает от $x=-2$ до $x=1$, достигая локального максимума в точке $(1, 9)$.

Далее функция убывает от $x=1$ до $x=4$, достигая локального минимума в точке $(4, 0)$.

И наконец, функция возрастает от $x=4$ до $+\infty$.

Таким образом, промежутки монотонности:

Возрастание: $[-2, 1]$ и $[4, +\infty)$.

Убывание: $(-\infty, -2]$ и $[1, 4]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-2, 1]$ и $[4, +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[1, 4]$.

2) ось симметрии графика функции;

Исходная парабола $y = x^2 - 2x - 8$ симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через ее вершину. Координата x вершины равна 1, следовательно, осью симметрии параболы является прямая $x=1$.

Преобразование $y = |f(x)|$ заключается в отражении части графика относительно оси Ox. Такое преобразование сохраняет вертикальную ось симметрии. Поэтому график функции $y = |x^2 - 2x - 8|$ также симметричен относительно прямой $x=1$.

Ответ: ось симметрии графика функции - прямая $x=1$.

3) значения параметра p, при которых уравнение $p = |x^2 - 2x - 8|$ имеет четыре корня.

Количество корней уравнения $p = |x^2 - 2x - 8|$ равно количеству точек пересечения графика функции $y = |x^2 - 2x - 8|$ и горизонтальной прямой $y=p$.

Проанализируем количество пересечений в зависимости от значения $p$:

- Если $p < 0$, прямая $y=p$ не пересекает график, так как значения функции неотрицательны. Корней нет.

- Если $p = 0$, прямая $y=0$ касается графика в двух точках локальных минимумов $(-2, 0)$ и $(4, 0)$. Уравнение имеет два корня.

- Если $0 < p < 9$, прямая $y=p$ пересекает график в четырех точках.

- Если $p = 9$, прямая $y=9$ касается графика в точке локального максимума $(1, 9)$ и пересекает его еще в двух точках. Уравнение имеет три корня.

- Если $p > 9$, прямая $y=p$ пересекает график в двух точках. Уравнение имеет два корня.

Следовательно, уравнение имеет четыре корня, когда прямая $y=p$ находится между локальными минимумами (на уровне $y=0$) и локальным максимумом (на уровне $y=9$).

Ответ: $p \in (0, 9)$.