Страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

18. Через точку $M(1; 0)$ проведены касательные к графику функции $y = x^2 - 2x + 2$. Найдите координаты точек касания:

A) $(0; 1)$ и $(2; 2);$

B) $(0; 2)$ и $(2; 0);$

C) $(0; 3)$ и $(2; 3)$

D) $(0; 2)$ и $(2; 2);$

E) $(1; 1)$ и $(3; 3).$

Пусть точка касания имеет координаты $(x_0, y_0)$. Поскольку эта точка лежит на графике функции $y = x^2 - 2x + 2$, ее координаты удовлетворяют этому уравнению: $y_0 = x_0^2 - 2x_0 + 2$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

Сначала найдем производную функции $f(x) = x^2 - 2x + 2$:$f'(x) = (x^2 - 2x + 2)' = 2x - 2$.

Значение производной в точке $x_0$ равно $f'(x_0) = 2x_0 - 2$. Это угловой коэффициент касательной.Подставим $f(x_0) = x_0^2 - 2x_0 + 2$ и $f'(x_0) = 2x_0 - 2$ в уравнение касательной:$y - (x_0^2 - 2x_0 + 2) = (2x_0 - 2)(x - x_0)$.

По условию задачи, касательная проходит через точку $M(1; 0)$. Подставим координаты этой точки ($x=1$, $y=0$) в уравнение касательной, чтобы найти $x_0$:$0 - (x_0^2 - 2x_0 + 2) = (2x_0 - 2)(1 - x_0)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x_0$:$-x_0^2 + 2x_0 - 2 = 2x_0 - 2x_0^2 - 2 + 2x_0$$-x_0^2 + 2x_0 - 2 = -2x_0^2 + 4x_0 - 2$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:$-x_0^2 + 2x_0^2 + 2x_0 - 4x_0 - 2 + 2 = 0$$x_0^2 - 2x_0 = 0$$x_0(x_0 - 2) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для абсциссы точки касания:$x_{0,1} = 0$$x_{0,2} = 2$

Теперь найдем ординаты (координаты $y$) этих точек, подставив найденные значения $x_0$ в исходное уравнение функции $y = x^2 - 2x + 2$:

1. Для $x_0 = 0$:$y_0 = 0^2 - 2(0) + 2 = 2$.Первая точка касания имеет координаты $(0; 2)$.

2. Для $x_0 = 2$:$y_0 = 2^2 - 2(2) + 2 = 4 - 4 + 2 = 2$.Вторая точка касания имеет координаты $(2; 2)$.

Таким образом, координаты точек касания: $(0; 2)$ и $(2; 2)$. Сравнивая с предложенными вариантами, мы видим, что это соответствует варианту D.

Ответ: координаты точек касания: $(0; 2)$ и $(2; 2)$.