Страница 116 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Какие уравнения могут быть получены в ходе решения иррационального уравнения?

2. Почему при решении иррационального уравнения уделяется внимание области допустимых значений переменной?

1. Какие уравнения могут быть получены в ходе решения иррационального уравнения?

При решении иррационального уравнения основной задачей является устранение радикала (знака корня). Стандартный метод для этого — возведение обеих частей уравнения в степень, которая равна показателю корня. Например, для уравнения вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ обе части возводят в квадрат, а для уравнения вида $\sqrt[3]{f(x)} = g(x)$ — в куб.

В результате такого преобразования иррациональное уравнение сводится к рациональному уравнению, то есть уравнению, не содержащему переменную под знаком корня. В зависимости от вида функций $f(x)$ и $g(x)$, полученное рациональное уравнение может быть:

• Линейным, если после всех преобразований и упрощений переменная остается в первой степени. Например, при решении уравнения $\sqrt{x-1} = 4$ после возведения в квадрат получаем линейное уравнение $x-1 = 16$.
• Квадратным, если после упрощений старшая степень переменной равна двум. Например, из уравнения $\sqrt{x+5} = x-1$ после возведения в квадрат получаем $x+5 = (x-1)^2$, что раскрывается в квадратное уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$.
• Уравнением более высокой степени, если в результате преобразований получаются многочлены третьей, четвертой или более высоких степеней.

Таким образом, решение иррационального уравнения практически всегда включает в себя переход к одному из видов рациональных уравнений.

Ответ: В ходе решения иррационального уравнения получают рациональные уравнения: линейные, квадратные или уравнения более высоких степеней.

2. Почему при решении иррационального уравнения уделяется внимание области допустимых значений переменной?

При решении иррационального уравнения необходимо уделять пристальное внимание области допустимых значений (ОДЗ) переменной по двум ключевым причинам:

1. Ограничения, вытекающие из определения корня. Арифметический корень четной степени (например, квадратный $\sqrt{a}$ или корень четвертой степени $\sqrt[4]{a}$) по определению существует только для неотрицательных подкоренных выражений ($a \ge 0$). Следовательно, для любого уравнения, содержащего корень четной степени, например $\sqrt{f(x)} = g(x)$, должно выполняться условие $f(x) \ge 0$. Значения переменной, нарушающие это условие, не могут являться решениями. Кроме того, значение арифметического корня четной степени всегда неотрицательно, поэтому и правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $g(x) \ge 0$. Совокупность этих условий и формирует ОДЗ, сужая множество возможных решений.

2. Возможность появления посторонних корней. Основной метод решения иррациональных уравнений — возведение обеих частей в четную степень — не является равносильным преобразованием. Это означает, что новое уравнение может иметь корни, которые не являются корнями исходного уравнения. Уравнение $A^2 = B^2$ является следствием не только уравнения $A=B$, но и уравнения $A=-B$. Поэтому после возведения в квадрат мы можем получить решения уравнения $A=-B$, которые будут посторонними для исходного уравнения $A=B$.

Рассмотрим классический пример: $\sqrt{x+7} = x-5$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x+7 \ge 0 \\ x-5 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -7 \\ x \ge 5 \end{cases} \implies x \ge 5$.

Теперь решим уравнение, возведя обе части в квадрат:

$x+7 = (x-5)^2$

$x+7 = x^2 - 10x + 25$

$x^2 - 11x + 18 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 9$.

Теперь сопоставим найденные корни с ОДЗ. Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $x \ge 5$, следовательно, это посторонний корень. Корень $x_2 = 9$ удовлетворяет условию $x \ge 5$. Проведем проверку подстановкой $x=9$ в исходное уравнение: $\sqrt{9+7} = 9-5 \implies \sqrt{16} = 4 \implies 4 = 4$. Равенство верное.

Таким образом, нахождение ОДЗ является важным шагом, который помогает отсеять посторонние корни, не прибегая к обязательной проверке каждого из них подстановкой в исходное уравнение.

Ответ: Внимание области допустимых значений уделяется для того, чтобы, во-первых, исключить значения переменной, при которых выражения в уравнении теряют математический смысл (например, отрицательное число под корнем четной степени), и, во-вторых, чтобы отсеять посторонние корни, которые могут появиться в результате неравносильных преобразований, таких как возведение обеих частей уравнения в четную степень.

Решите уравнения (14.1–14.4):

14.1. 1) $\sqrt{x} = 3;$

2) $\sqrt{x - 3} = 2;$

3) $\sqrt{x} = 2 - x;$

4) $\sqrt{x - 2} = \frac{x}{3}.$

1) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x} = 3$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Чтобы найти решение, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 3^2$

$x = 9$

Полученное значение $x=9$ удовлетворяет ОДЗ, так как $9 \ge 0$.

Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение: $\sqrt{9} = 3$, то есть $3 = 3$. Равенство верное.

Ответ: 9.

2) Дано уравнение $\sqrt{x-3} = 2$.

Найдем ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательно, то есть $x - 3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x-3})^2 = 2^2$

$x - 3 = 4$

$x = 4 + 3$

$x = 7$

Значение $x=7$ входит в область допустимых значений, так как $7 \ge 3$.

Проверка: $\sqrt{7-3} = \sqrt{4} = 2$. Равенство $2 = 2$ верное.

Ответ: 7.

3) Дано уравнение $\sqrt{x} = 2 - x$.

ОДЗ для этого уравнения определяется системой из двух условий:

1. Выражение под корнем неотрицательно: $x \ge 0$.

2. Правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным числом: $2 - x \ge 0$, откуда $x \le 2$.

Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $0 \le x \le 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (2 - x)^2$

$x = 4 - 4x + x^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 4$. Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($0 \le x \le 2$):

- Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ, так как $0 \le 1 \le 2$.

- Корень $x_2 = 4$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $4 > 2$. Следовательно, $x=4$ является посторонним корнем.

Единственным решением является $x=1$. Проверка: $\sqrt{1} = 2 - 1 \Rightarrow 1 = 1$. Верно.

Ответ: 1.

4) Дано уравнение $\sqrt{x-2} = \frac{x}{3}$.

Найдем ОДЗ из системы условий:

1. $x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$.

2. $\frac{x}{3} \ge 0 \Rightarrow x \ge 0$.

Итоговая ОДЗ: $x \ge 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x-2})^2 = (\frac{x}{3})^2$

$x - 2 = \frac{x^2}{9}$

Умножим обе части на 9, чтобы избавиться от дроби:

$9(x - 2) = x^2$

$9x - 18 = x^2$

$x^2 - 9x + 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{9 - \sqrt{9}}{2} = \frac{9-3}{2} = 3$ и $x_2 = \frac{9 + \sqrt{9}}{2} = \frac{9+3}{2} = 6$.

Проверим оба корня на принадлежность ОДЗ ($x \ge 2$):

- $x_1 = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge 2$).

- $x_2 = 6$ удовлетворяет ОДЗ ($6 \ge 2$).

Оба корня являются решениями. Выполним проверку:

При $x=3$: $\sqrt{3-2} = \frac{3}{3} \Rightarrow \sqrt{1} = 1 \Rightarrow 1=1$. Верно.

При $x=6$: $\sqrt{6-2} = \frac{6}{3} \Rightarrow \sqrt{4} = 2 \Rightarrow 2=2$. Верно.

Ответ: 3; 6.

14.2. 1) $\sqrt[3]{x+2} = 3;$

2) $\sqrt[4]{x-3} = 2;$

3) $3+\sqrt{x+3} = x;$

4) $5+\sqrt{x+1} = x.$

1) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{x + 2} = 3$.

Чтобы избавиться от кубического корня, возведем обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{x + 2})^3 = 3^3$

$x + 2 = 27$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Перенесем 2 в правую часть:

$x = 27 - 2$

$x = 25$

Так как корень нечетной степени, возведение в нечетную степень является равносильным преобразованием и не вводит посторонних корней. Проверка необязательна, но для уверенности подставим найденное значение в исходное уравнение:

$\sqrt[3]{25 + 2} = \sqrt[3]{27} = 3$.

$3 = 3$.

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: 25.

2) Исходное уравнение: $\sqrt[4]{x - 3} = 2$.

Чтобы избавиться от корня четвертой степени, возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{x - 3})^4 = 2^4$

$x - 3 = 16$

Решим полученное линейное уравнение. Перенесем -3 в правую часть:

$x = 16 + 3$

$x = 19$

Так как мы возводили в четную степень, необходимо выполнить проверку. Область допустимых значений (ОДЗ) для подкоренного выражения: $x - 3 \geq 0$, то есть $x \geq 3$. Найденный корень $x=19$ удовлетворяет этому условию.

Подставим корень в исходное уравнение:

$\sqrt[4]{19 - 3} = \sqrt[4]{16} = 2$.

$2 = 2$.

Равенство верное, корень найден правильно.

Ответ: 19.

3) Исходное уравнение: $3 + \sqrt{x + 3} = x$.

Сначала изолируем радикал (квадратный корень) в одной части уравнения:

$\sqrt{x + 3} = x - 3$

Прежде чем возводить в квадрат, определим область допустимых значений (ОДЗ). Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3$. Во-вторых, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$. Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $x \geq 3$.

Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{x + 3} = x - 3$ в квадрат:

$(\sqrt{x + 3})^2 = (x - 3)^2$

$x + 3 = x^2 - 6x + 9$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 6x - x + 9 - 3 = 0$

$x^2 - 7x + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 6. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \geq 3$):

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $1 \geq 3$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет условию $6 \geq 3$.

Выполним проверку, подставив $x = 6$ в исходное уравнение:

$3 + \sqrt{6 + 3} = 3 + \sqrt{9} = 3 + 3 = 6$. Правая часть $x=6$.

$6 = 6$.

Равенство верное.

Ответ: 6.

4) Исходное уравнение: $5 + \sqrt{x + 1} = x$.

Изолируем радикал:

$\sqrt{x + 1} = x - 5$

Определим ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$. Правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $x - 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq 5$. Общее ОДЗ для данного уравнения: $x \geq 5$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x + 1})^2 = (x - 5)^2$

$x + 1 = x^2 - 10x + 25$

Приведем к стандартному квадратному виду:

$x^2 - 10x - x + 25 - 1 = 0$

$x^2 - 11x + 24 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 11, а произведение равно 24. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = 8$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \geq 5$):

Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $3 \geq 5$, значит, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 8$ удовлетворяет условию $8 \geq 5$.

Выполним проверку, подставив $x = 8$ в исходное уравнение:

$5 + \sqrt{8 + 1} = 5 + \sqrt{9} = 5 + 3 = 8$. Правая часть $x=8$.

$8 = 8$.

Равенство верное.

Ответ: 8.

14.3. 1) $x - \sqrt{x} - 6 = 0;$

2) $x + \sqrt{2x} - 4 = 0;$

3) $(x^2 - 4) \cdot \sqrt{x + 5} = 0;$

4) $(x^2 - 9) \cdot \sqrt{x + 5} = 0.$

1) $x - \sqrt{x} - 6 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как корень арифметический, то $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Подставим замену в исходное уравнение:

$t^2 - t - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:

$t_1 + t_2 = 1$

$t_1 \cdot t_2 = -6$

Отсюда корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Вернемся к условию замены $t \ge 0$. Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Остается только $t_1 = 3$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x} = 3$

Возведем обе части в квадрат:

$x = 3^2 = 9$

Корень $x = 9$ удовлетворяет ОДЗ ($9 \ge 0$).

Ответ: 9

2) $x + \sqrt{2x} - 4 = 0$

Найдем ОДЗ: $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$.

Уединим радикал в одной части уравнения:

$\sqrt{2x} = 4 - x$

Так как левая часть уравнения (арифметический квадратный корень) неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной: $4 - x \ge 0$, что означает $x \le 4$.

Объединяя с ОДЗ, получаем систему ограничений: $0 \le x \le 4$.

Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{2x} = 4 - x$ в квадрат:

$(\sqrt{2x})^2 = (4 - x)^2$

$2x = 16 - 8x + x^2$

$x^2 - 10x + 16 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 10$

$x_1 \cdot x_2 = 16$

Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 8$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $0 \le x \le 4$.

$x_1 = 2$ удовлетворяет условию, так как $0 \le 2 \le 4$.

$x_2 = 8$ не удовлетворяет условию, так как $8 > 4$. Это посторонний корень.

Ответ: 2

3) $(x^2 - 4) \cdot \sqrt{x + 5} = 0$

Найдем ОДЗ: $x + 5 \ge 0$, откуда $x \ge -5$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует.

Получаем совокупность двух уравнений:

1) $x^2 - 4 = 0$

$x^2 = 4$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($2 \ge -5$ и $-2 \ge -5$).

2) $\sqrt{x + 5} = 0$

$x + 5 = 0$

$x_3 = -5$

Этот корень также удовлетворяет ОДЗ ($-5 \ge -5$).

Решениями исходного уравнения являются все три найденных значения.

Ответ: -5; -2; 2

4) $(x^2 - 9) \cdot \sqrt{x + 5} = 0$

Найдем ОДЗ: $x + 5 \ge 0$, откуда $x \ge -5$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другие существуют.

Рассмотрим два случая:

1) $x^2 - 9 = 0$

$x^2 = 9$

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($3 \ge -5$ и $-3 \ge -5$).

2) $\sqrt{x + 5} = 0$

$x + 5 = 0$

$x_3 = -5$

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($-5 \ge -5$).

Решениями уравнения являются все три найденных значения.

Ответ: -5; -3; 3

14.4. 1) $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} - 6 = 0;$

2) $\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x} - 2 = 0;$

3) $\sqrt{x} - 3\sqrt[4]{x} - 10 = 0;$

4) $\sqrt[3]{x} - 3\sqrt[6]{x} - 18 = 0.$

1) $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} - 6 = 0$

Данное уравнение определено при $x \ge 0$.

Введем новую переменную. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$. Тогда $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2 = t^2$. Так как корень четной степени является неотрицательным числом, то $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t^2 + t - 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета:

Сумма корней: $t_1 + t_2 = -1$

Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = -6$

Отсюда находим корни: $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$.

Корень $t_1 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, следовательно, он является посторонним.

Корень $t_2 = 2$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Вернемся к исходной переменной:

$\sqrt[4]{x} = 2$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$x = 2^4$

$x = 16$

Проверка: $\sqrt{16} + \sqrt[4]{16} - 6 = 4 + 2 - 6 = 0$. $0=0$. Решение верное.

Ответ: $16$

2) $\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x} - 2 = 0$

Данное уравнение определено при $x \ge 0$.

Введем новую переменную. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Тогда $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2 = t^2$. Условие для новой переменной: $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$t^2 + t - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = -1$

$t_1 \cdot t_2 = -2$

Корни: $t_1 = -2$ и $t_2 = 1$.

Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, значит, он посторонний.

Корень $t_2 = 1$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Произведем обратную замену:

$\sqrt[6]{x} = 1$

Возведем обе части уравнения в шестую степень:

$x = 1^6$

$x = 1$

Проверка: $\sqrt[3]{1} + \sqrt[6]{1} - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$. $0=0$. Решение верное.

Ответ: $1$

3) $\sqrt{x} - 3\sqrt[4]{x} - 10 = 0$

Данное уравнение определено при $x \ge 0$.

Введем замену. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$, тогда $\sqrt{x} = t^2$. Условие: $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 3t - 10 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{3 - 7}{2} = -2$

$t_2 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3 + 7}{2} = 5$

Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому является посторонним.

Корень $t_2 = 5$ удовлетворяет условию.

Вернемся к переменной $x$:

$\sqrt[4]{x} = 5$

Возведем обе части в четвертую степень:

$x = 5^4$

$x = 625$

Проверка: $\sqrt{625} - 3\sqrt[4]{625} - 10 = 25 - 3 \cdot 5 - 10 = 25 - 15 - 10 = 0$. $0=0$. Решение верное.

Ответ: $625$

4) $\sqrt[3]{x} - 3\sqrt[6]{x} - 18 = 0$

Данное уравнение определено при $x \ge 0$.

Выполним замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$, тогда $\sqrt[3]{x} = t^2$. Условие: $t \ge 0$.

Подставим в уравнение:

$t^2 - 3t - 18 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 3$

$t_1 \cdot t_2 = -18$

Корни: $t_1 = 6$ и $t_2 = -3$.

Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, значит, это посторонний корень.

Корень $t_1 = 6$ удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену:

$\sqrt[6]{x} = 6$

Возведем обе части в шестую степень:

$x = 6^6$

$x = 46656$

Проверка: $\sqrt[3]{46656} - 3\sqrt[6]{46656} - 18 = 36 - 3 \cdot 6 - 18 = 36 - 18 - 18 = 0$. $0=0$. Решение верное.

Ответ: $46656$

14.5. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5, \\ x + y = 13. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1. \end{cases} $

Данная система является линейной относительно переменных $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$. Решим ее методом алгебраического сложения. Сложим первое и второе уравнения, чтобы исключить $\sqrt{y}$:

$(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 3 + 1$

$2\sqrt{x} = 4$

Разделим обе части на 2:

$\sqrt{x} = 2$

Чтобы найти $x$, возведем обе части последнего равенства в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 2^2$

$x = 4$

Теперь подставим найденное значение $\sqrt{x} = 2$ в первое уравнение системы:

$2 + \sqrt{y} = 3$

$\sqrt{y} = 3 - 2$

$\sqrt{y} = 1$

Возведем обе части в квадрат, чтобы найти $y$:

$(\sqrt{y})^2 = 1^2$

$y = 1$

Проверим найденное решение $(4, 1)$, подставив его в исходную систему:

$\sqrt{4} + \sqrt{1} = 2 + 1 = 3$ (верно)

$\sqrt{4} - \sqrt{1} = 2 - 1 = 1$ (верно)

Ответ: $(4, 1)$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5, \\ x + y = 13. \end{cases} $

По определению квадратного корня, должно выполняться условие $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Возведем обе части первого уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = 5^2$

$(\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = 25$

$x + y + 2\sqrt{xy} = 25$

Из второго уравнения системы мы знаем, что $x + y = 13$. Подставим это значение в полученное уравнение:

$13 + 2\sqrt{xy} = 25$

$2\sqrt{xy} = 25 - 13$

$2\sqrt{xy} = 12$

$\sqrt{xy} = 6$

Теперь задача сводится к решению новой, более простой системы:

$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5, \\ \sqrt{xy} = 6. \end{cases} $

Сделаем замену переменных: пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$ (где $a \ge 0, b \ge 0$). Система примет вид:

$ \begin{cases} a + b = 5, \\ ab = 6. \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$, то есть $t^2 - 5t + 6 = 0$.

Найдем корни этого уравнения, например, разложением на множители:

$(t-2)(t-3) = 0$

Корни уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.

Таким образом, для пары $(a, b)$ есть два возможных варианта: $(2, 3)$ или $(3, 2)$.

Выполним обратную замену для каждого случая:

Случай 1: $a = \sqrt{x} = 2$ и $b = \sqrt{y} = 3$.

Отсюда $x = 2^2 = 4$ и $y = 3^2 = 9$. Получаем решение $(4, 9)$.

Случай 2: $a = \sqrt{x} = 3$ и $b = \sqrt{y} = 2$.

Отсюда $x = 3^2 = 9$ и $y = 2^2 = 4$. Получаем решение $(9, 4)$.

Проверим оба решения:

Для $(4, 9)$: $\sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5$ и $4+9=13$. (Верно)

Для $(9, 4)$: $\sqrt{9}+\sqrt{4}=3+2=5$ и $9+4=13$. (Верно)

Ответ: $(4, 9), (9, 4)$.