Страница 118 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

14.14. 1) $ \sqrt[5]{\frac{x - 3}{5 - x}} + \sqrt[5]{\frac{5 - x}{x - 3}} = 2; $

2) $ \sqrt{x + 3 - 2\sqrt{x + 2}} + \sqrt{x + 27 - 10\sqrt{x + 2}} = 4; $

3) $ \sqrt[5]{(5x + 2)^3} - \frac{16}{\sqrt[5]{(5x + 2)^3}} = 6; $

4) $ \frac{(5 - x)^{1.5} + (x - 3)^{1.5}}{\sqrt{5 - x} + \sqrt{x - 3}} = 2. $

1) $\sqrt[5]{\frac{x-3}{5-x}} + \sqrt[5]{\frac{5-x}{x-3}} = 2$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей под корнями не должны быть равны нулю, поэтому $x-3 \neq 0$ и $5-x \neq 0$. Следовательно, $x \neq 3$ и $x \neq 5$.

Введем замену. Пусть $t = \sqrt[5]{\frac{x-3}{5-x}}$.

Тогда второе слагаемое равно $\sqrt[5]{\frac{5-x}{x-3}} = \sqrt[5]{(\frac{x-3}{5-x})^{-1}} = (\sqrt[5]{\frac{x-3}{5-x}})^{-1} = \frac{1}{t}$.

Исходное уравнение принимает вид:

$t + \frac{1}{t} = 2$

Домножим обе части на $t$ (при $t \neq 0$, что выполняется, так как $x \neq 3$):

$t^2 + 1 = 2t$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

$(t-1)^2 = 0$

$t = 1$

Вернемся к исходной переменной:

$\sqrt[5]{\frac{x-3}{5-x}} = 1$

Возведем обе части уравнения в пятую степень:

$\frac{x-3}{5-x} = 1^5$

$\frac{x-3}{5-x} = 1$

$x-3 = 5-x$

$2x = 8$

$x = 4$

Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \neq 3$ и $4 \neq 5$).

Ответ: $x = 4$.

2) $\sqrt{x+3-2\sqrt{x+2}} + \sqrt{x+27-10\sqrt{x+2}} = 4$

ОДЗ: $x+2 \geq 0 \implies x \geq -2$. Также выражения под внешними корнями должны быть неотрицательны.

Заметим, что подкоренные выражения можно преобразовать, выделив полный квадрат. Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Для первого слагаемого: $x+3-2\sqrt{x+2} = (x+2) - 2\sqrt{x+2} + 1 = (\sqrt{x+2})^2 - 2\cdot\sqrt{x+2}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x+2}-1)^2$.

Для второго слагаемого: $x+27-10\sqrt{x+2} = (x+2) - 10\sqrt{x+2} + 25 = (\sqrt{x+2})^2 - 2\cdot\sqrt{x+2}\cdot 5 + 5^2 = (\sqrt{x+2}-5)^2$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{(\sqrt{x+2}-1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x+2}-5)^2} = 4$

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$|\sqrt{x+2}-1| + |\sqrt{x+2}-5| = 4$

Сделаем замену $t = \sqrt{x+2}$. Так как корень арифметический, то $t \geq 0$. Уравнение становится:

$|t-1| + |t-5| = 4$

Раскроем модули на трех промежутках:

а) Если $0 \le t < 1$, то $-(t-1) - (t-5) = 4 \implies 1-t+5-t=4 \implies 6-2t=4 \implies 2t=2 \implies t=1$. Этот корень не входит в интервал $0 \le t < 1$.

б) Если $1 \le t \le 5$, то $(t-1) - (t-5) = 4 \implies t-1-t+5=4 \implies 4=4$. Это верное тождество, значит, решением является весь промежуток $1 \le t \le 5$.

в) Если $t > 5$, то $(t-1) + (t-5) = 4 \implies 2t-6=4 \implies 2t=10 \implies t=5$. Этот корень не входит в интервал $t > 5$.

Итак, решением для $t$ является отрезок $1 \le t \le 5$.

Вернемся к переменной $x$:

$1 \le \sqrt{x+2} \le 5$

Так как все части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат:

$1^2 \le (\sqrt{x+2})^2 \le 5^2$

$1 \le x+2 \le 25$

Вычтем 2 из всех частей неравенства:

$-1 \le x \le 23$

Данный промежуток удовлетворяет исходному ОДЗ ($x \ge -2$).

Ответ: $x \in [-1; 23]$.

3) $\sqrt[5]{(5x+2)^3} - \frac{16}{\sqrt[5]{(5x+2)^3}} = 6$

ОДЗ: Знаменатель не должен быть равен нулю, значит $\sqrt[5]{(5x+2)^3} \neq 0$, откуда $5x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -\frac{2}{5}$.

Введем замену $y = \sqrt[5]{(5x+2)^3}$. Уравнение примет вид:

$y - \frac{16}{y} = 6$

Домножим на $y$ (при $y \neq 0$):

$y^2 - 16 = 6y$

$y^2 - 6y - 16 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни: $y_1 = 8$ и $y_2 = -2$.

Рассмотрим оба случая:

а) $y_1 = 8$

$\sqrt[5]{(5x+2)^3} = 8$

Возведем в 5-ю степень: $(5x+2)^3 = 8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$.

Извлечем кубический корень: $5x+2 = \sqrt[3]{2^{15}} = 2^5 = 32$.

$5x = 30$

$x_1 = 6$

б) $y_2 = -2$

$\sqrt[5]{(5x+2)^3} = -2$

Возведем в 5-ю степень: $(5x+2)^3 = (-2)^5 = -32$.

Извлечем кубический корень: $5x+2 = \sqrt[3]{-32} = \sqrt[3]{-8 \cdot 4} = -2\sqrt[3]{4}$.

$5x = -2 - 2\sqrt[3]{4}$

$x_2 = \frac{-2 - 2\sqrt[3]{4}}{5}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 6$, $x_2 = \frac{-2 - 2\sqrt[3]{4}}{5}$.

4) $\frac{(5-x)^{1.5} + (x-3)^{1.5}}{\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3}} = 2$

ОДЗ: выражения под корнями и в основании степеней с дробным показателем должны быть неотрицательны:

$5-x \ge 0 \implies x \le 5$

$x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$

Объединяя условия, получаем $3 \le x \le 5$. Знаменатель $\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3}$ обращается в ноль только если оба слагаемых равны нулю, что невозможно. Таким образом, знаменатель не равен нулю в области ОДЗ.

Введем замены: $a = \sqrt{5-x}$ и $b = \sqrt{x-3}$.

Тогда $(5-x)^{1.5} = ((\sqrt{5-x})^2)^{1.5} = (\sqrt{5-x})^3 = a^3$.

Аналогично, $(x-3)^{1.5} = ((\sqrt{x-3})^2)^{1.5} = (\sqrt{x-3})^3 = b^3$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{a^3 + b^3}{a+b} = 2$

Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:

$\frac{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}{a+b} = 2$

Сокращаем на $(a+b)$, так как $a+b \neq 0$ в ОДЗ.

$a^2 - ab + b^2 = 2$

Вернемся к исходным переменным:

$a^2 = (\sqrt{5-x})^2 = 5-x$

$b^2 = (\sqrt{x-3})^2 = x-3$

$ab = \sqrt{5-x}\sqrt{x-3}$

Подставим $a^2$ и $b^2$ в упрощенное уравнение:

$(5-x) - \sqrt{5-x}\sqrt{x-3} + (x-3) = 2$

$2 - \sqrt{(5-x)(x-3)} = 2$

$-\sqrt{(5-x)(x-3)} = 0$

$\sqrt{(5-x)(x-3)} = 0$

$(5-x)(x-3) = 0$

Отсюда получаем два возможных решения:

$5-x = 0 \implies x_1 = 5$

$x-3 = 0 \implies x_2 = 3$

Оба корня принадлежат ОДЗ $3 \le x \le 5$.

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = 5$.

14.15. 1) $\sqrt{x - 9} + \sqrt{x} = \frac{36}{\sqrt{x - 9}}$;

2) $\sqrt{9 - 5x} = \sqrt{3 - x} + \frac{6}{\sqrt{3 - x}};

3) $\sqrt{2 + x} + \sqrt{x} = \frac{4}{\sqrt{2 + x}};

4) $\frac{\sqrt{4x + 20}}{4 + \sqrt{x}} = \frac{4 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$.

1)

Исходное уравнение: $ \sqrt{x - 9} + \sqrt{x} = \frac{36}{\sqrt{x - 9}} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть неотрицательными, а знаменатель не должен быть равен нулю.

$ \begin{cases} x - 9 \ge 0 \\ x \ge 0 \\ \sqrt{x-9} \ne 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 9 \\ x \ge 0 \\ x \ne 9 \end{cases} \implies x > 9. $

Умножим обе части уравнения на $ \sqrt{x - 9} $, так как в ОДЗ это выражение положительно.

$ (\sqrt{x - 9})^2 + \sqrt{x}\sqrt{x - 9} = 36 $

$ x - 9 + \sqrt{x(x - 9)} = 36 $

Перенесем слагаемые без корня в правую часть:

$ \sqrt{x^2 - 9x} = 36 - x + 9 $

$ \sqrt{x^2 - 9x} = 45 - x $

Для возведения в квадрат обеих частей необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $ 45 - x \ge 0 $, то есть $ x \le 45 $. С учетом ОДЗ получаем $ 9 < x \le 45 $.

Возведем обе части в квадрат:

$ x^2 - 9x = (45 - x)^2 $

$ x^2 - 9x = 2025 - 90x + x^2 $

$ 90x - 9x = 2025 $

$ 81x = 2025 $

$ x = \frac{2025}{81} = 25 $

Найденный корень $ x=25 $ удовлетворяет условию $ 9 < x \le 45 $, следовательно, является решением уравнения.

Ответ: 25

2)

Исходное уравнение: $ \sqrt{9 - 5x} = \sqrt{3 - x} + \frac{6}{\sqrt{3 - x}} $

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} 9 - 5x \ge 0 \\ 3 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 5x \le 9 \\ x < 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 1.8 \\ x < 3 \end{cases} \implies x \le 1.8. $

Умножим обе части уравнения на $ \sqrt{3 - x} $, что допустимо в ОДЗ.

$ \sqrt{9 - 5x}\sqrt{3 - x} = (\sqrt{3 - x})^2 + 6 $

$ \sqrt{(9 - 5x)(3 - x)} = 3 - x + 6 $

$ \sqrt{27 - 9x - 15x + 5x^2} = 9 - x $

$ \sqrt{5x^2 - 24x + 27} = 9 - x $

Правая часть должна быть неотрицательной: $ 9 - x \ge 0 \implies x \le 9 $. Это условие выполняется в рамках ОДЗ ($ x \le 1.8 $). Возведем обе части в квадрат:

$ 5x^2 - 24x + 27 = (9 - x)^2 $

$ 5x^2 - 24x + 27 = 81 - 18x + x^2 $

$ 4x^2 - 6x - 54 = 0 $

Разделим уравнение на 2:

$ 2x^2 - 3x - 27 = 0 $

Найдем корни через дискриминант: $ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 9 + 216 = 225 = 15^2 $.

$ x_1 = \frac{3 + 15}{4} = \frac{18}{4} = 4.5 $

$ x_2 = \frac{3 - 15}{4} = \frac{-12}{4} = -3 $

Проверим корни по ОДЗ ($ x \le 1.8 $). Корень $ x_1 = 4.5 $ не удовлетворяет ОДЗ. Корень $ x_2 = -3 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -3

3)

Исходное уравнение: $ \sqrt{2 + x} + \sqrt{x} = \frac{4}{\sqrt{2 + x}} $

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} 2 + x > 0 \\ x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2 \\ x \ge 0 \end{cases} \implies x \ge 0. $

Умножим обе части уравнения на $ \sqrt{2 + x} $:

$ (\sqrt{2 + x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{2 + x} = 4 $

$ 2 + x + \sqrt{x(2 + x)} = 4 $

$ \sqrt{x^2 + 2x} = 4 - 2 - x $

$ \sqrt{x^2 + 2x} = 2 - x $

Для возведения в квадрат необходимо условие $ 2 - x \ge 0 \implies x \le 2 $. С учетом ОДЗ получаем $ 0 \le x \le 2 $.

Возведем обе части в квадрат:

$ x^2 + 2x = (2 - x)^2 $

$ x^2 + 2x = 4 - 4x + x^2 $

$ 6x = 4 $

$ x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $

Найденный корень $ x = \frac{2}{3} $ удовлетворяет условию $ 0 \le x \le 2 $.

Ответ: $\frac{2}{3}$

4)

Исходное уравнение: $ \frac{\sqrt{4x + 20}}{4 + \sqrt{x}} = \frac{4 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} $

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} 4x + 20 \ge 0 \\ x > 0 \\ 4 + \sqrt{x} \ne 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ x > 0 \\ \text{всегда верно, т.к. } \sqrt{x} \ge 0 \end{cases} \implies x > 0. $

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$ \sqrt{4x + 20} \cdot \sqrt{x} = (4 + \sqrt{x})(4 - \sqrt{x}) $

Справа применим формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $.

$ \sqrt{x(4x + 20)} = 4^2 - (\sqrt{x})^2 $

$ \sqrt{4x^2 + 20x} = 16 - x $

Возводим в квадрат, наложив условие $ 16 - x \ge 0 \implies x \le 16 $. С учетом ОДЗ получаем $ 0 < x \le 16 $.

$ 4x^2 + 20x = (16 - x)^2 $

$ 4x^2 + 20x = 256 - 32x + x^2 $

$ 3x^2 + 52x - 256 = 0 $

Найдем корни через дискриминант: $ D = 52^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-256) = 2704 + 3072 = 5776 = 76^2 $.

$ x_1 = \frac{-52 + 76}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4 $

$ x_2 = \frac{-52 - 76}{2 \cdot 3} = \frac{-128}{6} = -\frac{64}{3} $

Проверим корни по условию $ 0 < x \le 16 $. Корень $ x_1 = 4 $ удовлетворяет условию. Корень $ x_2 = -\frac{64}{3} $ не удовлетворяет условию, так как он отрицательный.

Ответ: 4

Решите системы уравнений (14.16–14.18):

14.16. 1) $\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{4}{3}, \\ x \cdot y = 9; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{5}{2}, \\ x + y = 10. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{4}{3} \\x \cdot y = 9 \end{cases}$

Область допустимых значений для переменных $x$ и $y$ определяется наличием квадратных корней и их нахождением в знаменателе, поэтому $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, приведя левую часть к общему знаменателю:

$\frac{\sqrt{y} + \sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{y}} = \frac{4}{3}$

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{xy}} = \frac{4}{3}$

Из второго уравнения системы мы знаем, что $xy = 9$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}$

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{3} = \frac{4}{3}$

Умножим обе части уравнения на 3:

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 4$

Теперь мы имеем новую, более простую систему. Сделаем замену переменных: пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$, где $a > 0$ и $b > 0$.

$\begin{cases} a + b = 4 \\ab = \sqrt{xy} = \sqrt{9} = 3 \end{cases}$

Согласно теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$.

Решим это уравнение:

$(t-1)(t-3) = 0$

Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Это дает нам два возможных набора решений для $(a, b)$: $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.

Случай 1: $a = 1, b = 3$

$\sqrt{x} = 1 \implies x = 1^2 = 1$

$\sqrt{y} = 3 \implies y = 3^2 = 9$

Получаем решение $(1, 9)$.

Случай 2: $a = 3, b = 1$

$\sqrt{x} = 3 \implies x = 3^2 = 9$

$\sqrt{y} = 1 \implies y = 1^2 = 1$

Получаем решение $(9, 1)$.

Проверка показывает, что оба решения удовлетворяют исходной системе.

Ответ: $(1, 9), (9, 1)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{5}{2} \\x + y = 10 \end{cases}$

Область допустимых значений: $x > 0$ и $y > 0$.

Рассмотрим первое уравнение. Сделаем замену: пусть $t = \sqrt{\frac{x}{y}}$. Так как $x > 0$ и $y > 0$, то $t > 0$.

Тогда $\sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{y}}} = \frac{1}{t}$.

Первое уравнение принимает вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$

Умножим обе части уравнения на $2t$ (так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателей:

$2t^2 + 2 = 5t$

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$

$t_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Оба корня положительны, поэтому оба подходят. Теперь вернемся к исходным переменным.

Случай 1: $t = 2$

$\sqrt{\frac{x}{y}} = 2 \implies \frac{x}{y} = 4 \implies x = 4y$

Подставим это выражение во второе уравнение системы $x + y = 10$:

$4y + y = 10 \implies 5y = 10 \implies y = 2$

Тогда $x = 4y = 4 \cdot 2 = 8$.

Получаем решение $(8, 2)$.

Случай 2: $t = \frac{1}{2}$

$\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{1}{2} \implies \frac{x}{y} = \frac{1}{4} \implies y = 4x$

Подставим это выражение во второе уравнение системы $x + y = 10$:

$x + 4x = 10 \implies 5x = 10 \implies x = 2$

Тогда $y = 4x = 4 \cdot 2 = 8$.

Получаем решение $(2, 8)$.

Проверка показывает, что оба решения удовлетворяют исходной системе.

Ответ: $(8, 2), (2, 8)$.

14.17. 1)

$\begin{cases} \sqrt{\frac{2x - 1}{y + 2}} + \sqrt{\frac{y + 2}{2x - 1}} = 2, \\ x + y = 12; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sqrt{\frac{6x}{x + y}} + \sqrt{\frac{x + y}{6x}} = \frac{5}{2}, \\ xy - x - y = 0. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt{\frac{2x - 1}{y + 2}} + \sqrt{\frac{y + 2}{2x - 1}} = 2 \\ x + y = 12 \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что подкоренные выражения должны быть неотрицательны, а знаменатели не равны нулю. Следовательно, выражение $\frac{2x - 1}{y + 2}$ должно быть строго положительным: $\frac{2x - 1}{y + 2} > 0$. Это означает, что числитель и знаменатель должны иметь одинаковый знак: $(2x - 1 > 0$ и $y + 2 > 0)$ или $(2x - 1 < 0$ и $y + 2 < 0)$.

Рассмотрим первое уравнение. Сделаем замену: пусть $t = \sqrt{\frac{2x - 1}{y + 2}}$. Так как корень арифметический, $t > 0$. Тогда первое уравнение принимает вид: $t + \frac{1}{t} = 2$.

Умножим обе части уравнения на $t$ (это возможно, так как $t \ne 0$): $t^2 + 1 = 2t$ $t^2 - 2t + 1 = 0$ $(t - 1)^2 = 0$ Отсюда получаем, что $t = 1$.

Вернемся к исходным переменным: $\sqrt{\frac{2x - 1}{y + 2}} = 1$. Возведем обе части в квадрат: $\frac{2x - 1}{y + 2} = 1$ $2x - 1 = y + 2$ $2x - y = 3$.

Теперь мы имеем систему двух линейных уравнений: $ \begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + y = 12 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить $y$: $(2x - y) + (x + y) = 3 + 12$ $3x = 15$ $x = 5$.

Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение системы: $5 + y = 12$ $y = 7$.

Проверим, удовлетворяет ли решение $(5, 7)$ ОДЗ. $2x - 1 = 2(5) - 1 = 9 > 0$. $y + 2 = 7 + 2 = 9 > 0$. Оба выражения положительны, значит, ОДЗ выполнено.

Ответ: $(5, 7)$.

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt{\frac{6x}{x+y}} + \sqrt{\frac{x+y}{6x}} = \frac{5}{2} \\ xy - x - y = 0 \end{cases} $

ОДЗ: подкоренное выражение должно быть строго положительным, т.е. $\frac{6x}{x+y} > 0$. Это значит, что $x \ne 0$, $x+y \ne 0$, и $x$ и $x+y$ имеют одинаковый знак.

Введем замену в первом уравнении: пусть $t = \sqrt{\frac{6x}{x+y}}$. Так как $t$ - это арифметический корень, $t > 0$. Уравнение принимает вид: $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$.

Умножим обе части на $2t$ (так как $t \ne 0$): $2t^2 + 2 = 5t$ $2t^2 - 5t + 2 = 0$. Это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его корни: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$. $t_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. $t_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$. Оба корня положительны, поэтому подходят. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $t = 2$. $\sqrt{\frac{6x}{x+y}} = 2$. Возводим в квадрат: $\frac{6x}{x+y} = 4 \implies 6x = 4(x+y) \implies 6x = 4x + 4y \implies 2x = 4y \implies x = 2y$. Подставим $x=2y$ во второе уравнение системы $xy - x - y = 0$: $(2y)y - 2y - y = 0$ $2y^2 - 3y = 0$ $y(2y - 3) = 0$. Получаем $y=0$ или $y=3/2$. Если $y=0$, то $x=0$. Пара $(0, 0)$ не входит в ОДЗ, так как $x \ne 0$. Если $y=3/2$, то $x=2(3/2)=3$. Пара $(3, 3/2)$. Проверим ОДЗ: $\frac{6(3)}{3+3/2} = \frac{18}{9/2} = 4 > 0$. Решение подходит.

Случай 2: $t = 1/2$. $\sqrt{\frac{6x}{x+y}} = \frac{1}{2}$. Возводим в квадрат: $\frac{6x}{x+y} = \frac{1}{4} \implies 24x = x+y \implies y = 23x$. Подставим $y=23x$ во второе уравнение системы $xy - x - y = 0$: $x(23x) - x - 23x = 0$ $23x^2 - 24x = 0$ $x(23x - 24) = 0$. Получаем $x=0$ или $x=24/23$. Если $x=0$, то $y=0$. Как мы уже выяснили, это решение не подходит. Если $x=24/23$, то $y=23(24/23)=24$. Пара $(24/23, 24)$. Проверим ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$, значит $x+y > 0$, и дробь $\frac{6x}{x+y}$ будет положительна. Решение подходит.

Ответ: $(3, 3/2), (24/23, 24)$.

14.18. Выясните, являются ли равносильными уравнения:

1) $\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = 2$ и $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1}} = 2$;

2) $\sqrt{x^2 - 3x + 2} = 4$ и $\sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{x - 1} = 4$;

3) $\sqrt{x - 5} = x$ и $x - 5 = x^2$;

4) $\sqrt[3]{2x + 1} = x$ и $2x + 1 = x^3$;

1)

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

Первое уравнение: $\sqrt{\frac{x-1}{x+1}} = 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $\frac{x-1}{x+1} \ge 0$. Решая это неравенство методом интервалов, находим, что ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup [1, \infty)$.

Возведем обе части уравнения в квадрат (это равносильное преобразование, так как обе части неотрицательны):

$\frac{x-1}{x+1} = 4$

$x-1 = 4(x+1)$

$x-1 = 4x+4$

$3x = -5$

$x = -\frac{5}{3}$

Проверим, входит ли корень в ОДЗ. Так как $-\frac{5}{3} \approx -1.67$, что меньше $-1$, корень принадлежит ОДЗ. Множество решений первого уравнения: $\{-\frac{5}{3}\}$.

Второе уравнение: $\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}} = 2$.

ОДЗ этого уравнения определяется системой условий: $\begin{cases} x-1 \ge 0 \\ x+1 > 0 \end{cases}$. Решением этой системы является $x \ge 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [1, \infty)$.

Решение уравнения аналогично первому и приводит к $x = -\frac{5}{3}$. Однако этот корень не принадлежит ОДЗ второго уравнения, так как $-\frac{5}{3} < 1$. Следовательно, второе уравнение не имеет действительных решений, и его множество решений пусто: $\emptyset$.

Поскольку множества решений уравнений различны ($\{-\frac{5}{3}\} \ne \emptyset$), они не являются равносильными.

Ответ: не являются равносильными.

2)

Рассмотрим уравнения $\sqrt{x^2 - 3x + 2} = 4$ и $\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x-1} = 4$.

Первое уравнение: $\sqrt{x^2 - 3x + 2} = 4$.

ОДЗ: $x^2 - 3x + 2 \ge 0$. Разложив на множители, получаем $(x-1)(x-2) \ge 0$. ОДЗ: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$.

Возведем в квадрат обе части:

$x^2 - 3x + 2 = 16$

$x^2 - 3x - 14 = 0$

Используем формулу для корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-14)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9+56}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{65}}{2}$

Проверим корни. $x_1 = \frac{3+\sqrt{65}}{2}$. Так как $\sqrt{65} > \sqrt{4} = 2$, то $3+\sqrt{65} > 5$, и $x_1 > 2.5$. Этот корень входит в ОДЗ.$x_2 = \frac{3-\sqrt{65}}{2}$. Так как $\sqrt{65} > \sqrt{9} = 3$, то $3-\sqrt{65} < 0$, и этот корень также входит в ОДЗ.

Множество решений первого уравнения: $\{\frac{3+\sqrt{65}}{2}, \frac{3-\sqrt{65}}{2}\}$.

Второе уравнение: $\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x-1} = 4$.

ОДЗ: $\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases}$, что равносильно $x \ge 2$. ОДЗ: $x \in [2, \infty)$.

На ОДЗ можно использовать свойство $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$\sqrt{(x-2)(x-1)} = 4 \implies \sqrt{x^2 - 3x + 2} = 4$.

Это уравнение идентично первому, и его корни $x = \frac{3 \pm \sqrt{65}}{2}$.

Теперь проверим корни по ОДЗ второго уравнения ($x \ge 2$):

$x_1 = \frac{3+\sqrt{65}}{2} > 2$, поэтому это корень.

$x_2 = \frac{3-\sqrt{65}}{2} < 0$, поэтому это посторонний корень для второго уравнения.

Множество решений второго уравнения: $\{\frac{3+\sqrt{65}}{2}\}$.

Множества решений не совпадают, следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: не являются равносильными.

3)

Рассмотрим уравнения $\sqrt{x-5} = x$ и $x-5 = x^2$.

Первое уравнение: $\sqrt{x-5} = x$.

Преобразование иррационального уравнения вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$

В нашем случае: $\begin{cases} x-5 = x^2 \\ x \ge 0 \end{cases}$

Решим уравнение $x-5 = x^2$, или $x^2 - x + 5 = 0$.

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(5) = 1 - 20 = -19$.

Поскольку $D < 0$, уравнение $x^2 - x + 5 = 0$ не имеет действительных корней. Следовательно, и система, и исходное уравнение не имеют решений. Множество решений пустое: $\emptyset$.

Второе уравнение: $x-5 = x^2$.

Это то же самое квадратное уравнение $x^2 - x + 5 = 0$, которое, как мы выяснили, не имеет действительных решений. Его множество решений также пустое: $\emptyset$.

Поскольку множества решений обоих уравнений совпадают (оба пусты), уравнения являются равносильными.

Ответ: являются равносильными.

4)

Рассмотрим уравнения $\sqrt[3]{2x+1} = x$ и $2x+1 = x^3$.

Первое уравнение: $\sqrt[3]{2x+1} = x$.

Кубический корень определен для любых действительных чисел, поэтому ОДЗ этого уравнения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Возведение обеих частей уравнения в нечетную степень (в данном случае в куб) является равносильным преобразованием. Это означает, что уравнение $\sqrt[3]{A} = B$ равносильно уравнению $A = B^3$.

Возведем обе части первого уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{2x+1})^3 = x^3$

$2x+1 = x^3$

Мы получили в точности второе уравнение. Так как преобразование было равносильным, множества решений первого и второго уравнений совпадают.

Следовательно, уравнения являются равносильными, и для ответа на вопрос даже не требуется находить их корни.

Ответ: являются равносильными.

14.19. Решите однородное уравнение:

1) $ \sin^2x - 2\sin x\cos x - 3\cos^2x = 0; $

2) $ 3\sin^2x - 14\sin x\cos x - 5\cos^2x = 0. $

1) $\sin^2 x - 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ следует, что $\sin^2 x = 1$. Подставив эти значения в исходное уравнение, получим: $1 - 2 \cdot (\pm 1) \cdot 0 - 3 \cdot 0 = 1 \neq 0$. Значит, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$.

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{3\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$\tan^2 x - 2\tan x - 3 = 0$

Введем замену $t = \tan x$, получим квадратное уравнение:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Вернемся к переменной $x$:

1. $\tan x = 3 \implies x = \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. $\tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $3\sin^2 x - 14\sin x \cos x - 5\cos^2 x = 0$

Это также однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Как и в предыдущем случае, $\cos x \neq 0$. Если предположить, что $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Уравнение примет вид $3 \cdot 1 - 0 - 0 = 3 \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$.

$\frac{3\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{14\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{5\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$3\tan^2 x - 14\tan x - 5 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$:

$3t^2 - 14t - 5 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$.

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Выполним обратную замену:

1. $\tan x = 5 \implies x = \arctan(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. $\tan x = -\frac{1}{3} \implies x = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi k = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.