Номер 14.18, страница 118 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

14.18. Выясните, являются ли равносильными уравнения:

1) $\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = 2$ и $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1}} = 2$;

2) $\sqrt{x^2 - 3x + 2} = 4$ и $\sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{x - 1} = 4$;

3) $\sqrt{x - 5} = x$ и $x - 5 = x^2$;

4) $\sqrt[3]{2x + 1} = x$ и $2x + 1 = x^3$;

1)

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

Первое уравнение: $\sqrt{\frac{x-1}{x+1}} = 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $\frac{x-1}{x+1} \ge 0$. Решая это неравенство методом интервалов, находим, что ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup [1, \infty)$.

Возведем обе части уравнения в квадрат (это равносильное преобразование, так как обе части неотрицательны):

$\frac{x-1}{x+1} = 4$

$x-1 = 4(x+1)$

$x-1 = 4x+4$

$3x = -5$

$x = -\frac{5}{3}$

Проверим, входит ли корень в ОДЗ. Так как $-\frac{5}{3} \approx -1.67$, что меньше $-1$, корень принадлежит ОДЗ. Множество решений первого уравнения: $\{-\frac{5}{3}\}$.

Второе уравнение: $\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}} = 2$.

ОДЗ этого уравнения определяется системой условий: $\begin{cases} x-1 \ge 0 \\ x+1 > 0 \end{cases}$. Решением этой системы является $x \ge 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [1, \infty)$.

Решение уравнения аналогично первому и приводит к $x = -\frac{5}{3}$. Однако этот корень не принадлежит ОДЗ второго уравнения, так как $-\frac{5}{3} < 1$. Следовательно, второе уравнение не имеет действительных решений, и его множество решений пусто: $\emptyset$.

Поскольку множества решений уравнений различны ($\{-\frac{5}{3}\} \ne \emptyset$), они не являются равносильными.

Ответ: не являются равносильными.

2)

Рассмотрим уравнения $\sqrt{x^2 - 3x + 2} = 4$ и $\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x-1} = 4$.

Первое уравнение: $\sqrt{x^2 - 3x + 2} = 4$.

ОДЗ: $x^2 - 3x + 2 \ge 0$. Разложив на множители, получаем $(x-1)(x-2) \ge 0$. ОДЗ: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$.

Возведем в квадрат обе части:

$x^2 - 3x + 2 = 16$

$x^2 - 3x - 14 = 0$

Используем формулу для корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-14)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9+56}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{65}}{2}$

Проверим корни. $x_1 = \frac{3+\sqrt{65}}{2}$. Так как $\sqrt{65} > \sqrt{4} = 2$, то $3+\sqrt{65} > 5$, и $x_1 > 2.5$. Этот корень входит в ОДЗ.$x_2 = \frac{3-\sqrt{65}}{2}$. Так как $\sqrt{65} > \sqrt{9} = 3$, то $3-\sqrt{65} < 0$, и этот корень также входит в ОДЗ.

Множество решений первого уравнения: $\{\frac{3+\sqrt{65}}{2}, \frac{3-\sqrt{65}}{2}\}$.

Второе уравнение: $\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x-1} = 4$.

ОДЗ: $\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases}$, что равносильно $x \ge 2$. ОДЗ: $x \in [2, \infty)$.

На ОДЗ можно использовать свойство $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$\sqrt{(x-2)(x-1)} = 4 \implies \sqrt{x^2 - 3x + 2} = 4$.

Это уравнение идентично первому, и его корни $x = \frac{3 \pm \sqrt{65}}{2}$.

Теперь проверим корни по ОДЗ второго уравнения ($x \ge 2$):

$x_1 = \frac{3+\sqrt{65}}{2} > 2$, поэтому это корень.

$x_2 = \frac{3-\sqrt{65}}{2} < 0$, поэтому это посторонний корень для второго уравнения.

Множество решений второго уравнения: $\{\frac{3+\sqrt{65}}{2}\}$.

Множества решений не совпадают, следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: не являются равносильными.

3)

Рассмотрим уравнения $\sqrt{x-5} = x$ и $x-5 = x^2$.

Первое уравнение: $\sqrt{x-5} = x$.

Преобразование иррационального уравнения вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$

В нашем случае: $\begin{cases} x-5 = x^2 \\ x \ge 0 \end{cases}$

Решим уравнение $x-5 = x^2$, или $x^2 - x + 5 = 0$.

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(5) = 1 - 20 = -19$.

Поскольку $D < 0$, уравнение $x^2 - x + 5 = 0$ не имеет действительных корней. Следовательно, и система, и исходное уравнение не имеют решений. Множество решений пустое: $\emptyset$.

Второе уравнение: $x-5 = x^2$.

Это то же самое квадратное уравнение $x^2 - x + 5 = 0$, которое, как мы выяснили, не имеет действительных решений. Его множество решений также пустое: $\emptyset$.

Поскольку множества решений обоих уравнений совпадают (оба пусты), уравнения являются равносильными.

Ответ: являются равносильными.

4)

Рассмотрим уравнения $\sqrt[3]{2x+1} = x$ и $2x+1 = x^3$.

Первое уравнение: $\sqrt[3]{2x+1} = x$.

Кубический корень определен для любых действительных чисел, поэтому ОДЗ этого уравнения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Возведение обеих частей уравнения в нечетную степень (в данном случае в куб) является равносильным преобразованием. Это означает, что уравнение $\sqrt[3]{A} = B$ равносильно уравнению $A = B^3$.

Возведем обе части первого уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{2x+1})^3 = x^3$

$2x+1 = x^3$

Мы получили в точности второе уравнение. Так как преобразование было равносильным, множества решений первого и второго уравнений совпадают.

Следовательно, уравнения являются равносильными, и для ответа на вопрос даже не требуется находить их корни.

Ответ: являются равносильными.