Номер 14.12, страница 117 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

14.12. 1) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 2, \\ xy = 27; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 10, \\ \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} = 4. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений:$$\begin{cases}\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 2 \\xy = 27\end{cases}$$Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$.

Тогда первое уравнение примет вид: $a - b = 2$.

Преобразуем второе уравнение: $xy = 27$. Возьмем кубический корень от обеих частей: $\sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{27}$, что дает $\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y} = 3$, или $ab = 3$.

Получаем новую систему уравнений относительно $a$ и $b$:$$\begin{cases}a - b = 2 \\ab = 3\end{cases}$$Из первого уравнения выразим $a$: $a = b + 2$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $(b + 2)b = 3$.

$b^2 + 2b - 3 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его корни. По теореме Виета или через дискриминант, корни: $b_1 = 1$ и $b_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $a$ из уравнения $a = b + 2$:

Если $b_1 = 1$, то $a_1 = 1 + 2 = 3$.

Если $b_2 = -3$, то $a_2 = -3 + 2 = -1$.

Мы получили две пары решений для $(a, b)$: $(3, 1)$ и $(-1, -3)$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.

Напомним, что $x = a^3$ и $y = b^3$.

1. Для пары $(a, b) = (3, 1)$:

$x = 3^3 = 27$

$y = 1^3 = 1$

Получаем решение $(27, 1)$.

2. Для пары $(a, b) = (-1, -3)$:

$x = (-1)^3 = -1$

$y = (-3)^3 = -27$

Получаем решение $(-1, -27)$.

Проверка показывает, что обе пары чисел являются решениями исходной системы.

Ответ: $(27; 1), (-1; -27).

2) Решим систему уравнений:$$\begin{cases}\sqrt{x} + \sqrt{y} = 10 \\\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} = 4\end{cases}$$Область допустимых значений переменных: $x \ge 0, y \ge 0$.

Введем замену переменных. Пусть $u = \sqrt[4]{x}$ и $v = \sqrt[4]{y}$. Так как $x, y \ge 0$, то $u \ge 0, v \ge 0$.

Тогда $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2 = u^2$ и $\sqrt{y} = (\sqrt[4]{y})^2 = v^2$.

Подставив новые переменные в исходную систему, получим:$$\begin{cases}u^2 + v^2 = 10 \\u + v = 4\end{cases}$$Возведем второе уравнение в квадрат: $(u + v)^2 = 4^2$, что равносильно $u^2 + 2uv + v^2 = 16$.

Мы знаем, что $u^2 + v^2 = 10$. Подставим это значение в преобразованное уравнение:

$10 + 2uv = 16$

$2uv = 6$

$uv = 3$

Теперь наша система имеет вид:$$\begin{cases}u + v = 4 \\uv = 3\end{cases}$$Согласно обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$.

Решая это уравнение, находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Таким образом, мы имеем два возможных набора значений для $(u, v)$, которые оба удовлетворяют условию $u \ge 0, v \ge 0$:

1. $u = 1, v = 3$.

2. $u = 3, v = 1$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.

Напомним, что $x = u^4$ и $y = v^4$.

1. Для пары $(u, v) = (1, 3)$:

$x = 1^4 = 1$

$y = 3^4 = 81$

Получаем решение $(1, 81)$.

2. Для пары $(u, v) = (3, 1)$:

$x = 3^4 = 81$

$y = 1^4 = 1$

Получаем решение $(81, 1)$.

Проверка показывает, что обе пары чисел являются решениями исходной системы.

Ответ: $(1; 81), (81; 1).