Номер 14.15, страница 118 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

14.15. 1) $\sqrt{x - 9} + \sqrt{x} = \frac{36}{\sqrt{x - 9}}$;

2) $\sqrt{9 - 5x} = \sqrt{3 - x} + \frac{6}{\sqrt{3 - x}};

3) $\sqrt{2 + x} + \sqrt{x} = \frac{4}{\sqrt{2 + x}};

4) $\frac{\sqrt{4x + 20}}{4 + \sqrt{x}} = \frac{4 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$.

1)

Исходное уравнение: $ \sqrt{x - 9} + \sqrt{x} = \frac{36}{\sqrt{x - 9}} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть неотрицательными, а знаменатель не должен быть равен нулю.

$ \begin{cases} x - 9 \ge 0 \\ x \ge 0 \\ \sqrt{x-9} \ne 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 9 \\ x \ge 0 \\ x \ne 9 \end{cases} \implies x > 9. $

Умножим обе части уравнения на $ \sqrt{x - 9} $, так как в ОДЗ это выражение положительно.

$ (\sqrt{x - 9})^2 + \sqrt{x}\sqrt{x - 9} = 36 $

$ x - 9 + \sqrt{x(x - 9)} = 36 $

Перенесем слагаемые без корня в правую часть:

$ \sqrt{x^2 - 9x} = 36 - x + 9 $

$ \sqrt{x^2 - 9x} = 45 - x $

Для возведения в квадрат обеих частей необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $ 45 - x \ge 0 $, то есть $ x \le 45 $. С учетом ОДЗ получаем $ 9 < x \le 45 $.

Возведем обе части в квадрат:

$ x^2 - 9x = (45 - x)^2 $

$ x^2 - 9x = 2025 - 90x + x^2 $

$ 90x - 9x = 2025 $

$ 81x = 2025 $

$ x = \frac{2025}{81} = 25 $

Найденный корень $ x=25 $ удовлетворяет условию $ 9 < x \le 45 $, следовательно, является решением уравнения.

Ответ: 25

2)

Исходное уравнение: $ \sqrt{9 - 5x} = \sqrt{3 - x} + \frac{6}{\sqrt{3 - x}} $

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} 9 - 5x \ge 0 \\ 3 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 5x \le 9 \\ x < 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 1.8 \\ x < 3 \end{cases} \implies x \le 1.8. $

Умножим обе части уравнения на $ \sqrt{3 - x} $, что допустимо в ОДЗ.

$ \sqrt{9 - 5x}\sqrt{3 - x} = (\sqrt{3 - x})^2 + 6 $

$ \sqrt{(9 - 5x)(3 - x)} = 3 - x + 6 $

$ \sqrt{27 - 9x - 15x + 5x^2} = 9 - x $

$ \sqrt{5x^2 - 24x + 27} = 9 - x $

Правая часть должна быть неотрицательной: $ 9 - x \ge 0 \implies x \le 9 $. Это условие выполняется в рамках ОДЗ ($ x \le 1.8 $). Возведем обе части в квадрат:

$ 5x^2 - 24x + 27 = (9 - x)^2 $

$ 5x^2 - 24x + 27 = 81 - 18x + x^2 $

$ 4x^2 - 6x - 54 = 0 $

Разделим уравнение на 2:

$ 2x^2 - 3x - 27 = 0 $

Найдем корни через дискриминант: $ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 9 + 216 = 225 = 15^2 $.

$ x_1 = \frac{3 + 15}{4} = \frac{18}{4} = 4.5 $

$ x_2 = \frac{3 - 15}{4} = \frac{-12}{4} = -3 $

Проверим корни по ОДЗ ($ x \le 1.8 $). Корень $ x_1 = 4.5 $ не удовлетворяет ОДЗ. Корень $ x_2 = -3 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -3

3)

Исходное уравнение: $ \sqrt{2 + x} + \sqrt{x} = \frac{4}{\sqrt{2 + x}} $

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} 2 + x > 0 \\ x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2 \\ x \ge 0 \end{cases} \implies x \ge 0. $

Умножим обе части уравнения на $ \sqrt{2 + x} $:

$ (\sqrt{2 + x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{2 + x} = 4 $

$ 2 + x + \sqrt{x(2 + x)} = 4 $

$ \sqrt{x^2 + 2x} = 4 - 2 - x $

$ \sqrt{x^2 + 2x} = 2 - x $

Для возведения в квадрат необходимо условие $ 2 - x \ge 0 \implies x \le 2 $. С учетом ОДЗ получаем $ 0 \le x \le 2 $.

Возведем обе части в квадрат:

$ x^2 + 2x = (2 - x)^2 $

$ x^2 + 2x = 4 - 4x + x^2 $

$ 6x = 4 $

$ x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $

Найденный корень $ x = \frac{2}{3} $ удовлетворяет условию $ 0 \le x \le 2 $.

Ответ: $\frac{2}{3}$

4)

Исходное уравнение: $ \frac{\sqrt{4x + 20}}{4 + \sqrt{x}} = \frac{4 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} $

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} 4x + 20 \ge 0 \\ x > 0 \\ 4 + \sqrt{x} \ne 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ x > 0 \\ \text{всегда верно, т.к. } \sqrt{x} \ge 0 \end{cases} \implies x > 0. $

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$ \sqrt{4x + 20} \cdot \sqrt{x} = (4 + \sqrt{x})(4 - \sqrt{x}) $

Справа применим формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $.

$ \sqrt{x(4x + 20)} = 4^2 - (\sqrt{x})^2 $

$ \sqrt{4x^2 + 20x} = 16 - x $

Возводим в квадрат, наложив условие $ 16 - x \ge 0 \implies x \le 16 $. С учетом ОДЗ получаем $ 0 < x \le 16 $.

$ 4x^2 + 20x = (16 - x)^2 $

$ 4x^2 + 20x = 256 - 32x + x^2 $

$ 3x^2 + 52x - 256 = 0 $

Найдем корни через дискриминант: $ D = 52^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-256) = 2704 + 3072 = 5776 = 76^2 $.

$ x_1 = \frac{-52 + 76}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4 $

$ x_2 = \frac{-52 - 76}{2 \cdot 3} = \frac{-128}{6} = -\frac{64}{3} $

Проверим корни по условию $ 0 < x \le 16 $. Корень $ x_1 = 4 $ удовлетворяет условию. Корень $ x_2 = -\frac{64}{3} $ не удовлетворяет условию, так как он отрицательный.

Ответ: 4