Номер 14.10, страница 117 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

14.10. 1) $\sqrt{x^2 + 32} - 2\sqrt[4]{x^2 + 32} = 3;$

2) $3\sqrt[3]{x} - 5\sqrt[3]{x^{-1}} = 2;$

3) $\sqrt{3x^2 + 13} - \sqrt[4]{3x^2 + 13} = 2;$

4) $\sqrt{5 + \sqrt[3]{x}} + \sqrt{5 - \sqrt[3]{x}} = \sqrt[3]{x}.$

1) $\sqrt{x^2 + 32} - 2\sqrt[4]{x^2 + 32} = 3$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 + 32 \ge 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного числа $x$, так как $x^2 \ge 0$ и $32 > 0$.

Для решения уравнения введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[4]{x^2 + 32}$. Тогда $\sqrt{x^2 + 32} = y^2$. По определению арифметического корня, $y \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$y^2 - 2y = 3$

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Решим его, найдя корни. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -1$.

Теперь вернемся к замене, учитывая условие $y \ge 0$.

1. $y_1 = 3$. Этот корень удовлетворяет условию $y \ge 0$.

$\sqrt[4]{x^2 + 32} = 3$

Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$x^2 + 32 = 3^4$

$x^2 + 32 = 81$

$x^2 = 81 - 32$

$x^2 = 49$

$x = \pm 7$.

2. $y_2 = -1$. Этот корень не удовлетворяет условию $y \ge 0$, так как значение арифметического корня четной степени не может быть отрицательным. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $x = \pm 7$.

2) $3\sqrt[3]{x} - 5\sqrt[3]{x^{-1}} = 2$

ОДЗ: $x \neq 0$, так как $x^{-1} = \frac{1}{x}$, а на ноль делить нельзя.

Перепишем уравнение, используя свойство степеней: $3\sqrt[3]{x} - 5\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = 2$.

Введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[3]{x}$. Так как $x \neq 0$, то и $y \neq 0$.

Уравнение примет вид:

$3y - \frac{5}{y} = 2$

Умножим обе части уравнения на $y$ (мы можем это сделать, так как $y \neq 0$):

$3y^2 - 5 = 2y$

$3y^2 - 2y - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

$y_2 = \frac{2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$.

Оба корня удовлетворяют условию $y \neq 0$. Сделаем обратную замену.

1. $\sqrt[3]{x} = \frac{5}{3}$. Возведем обе части в куб: $x = (\frac{5}{3})^3 = \frac{125}{27}$.

2. $\sqrt[3]{x} = -1$. Возведем обе части в куб: $x = (-1)^3 = -1$.

Оба найденных значения $x$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = \frac{125}{27}$.

3) $\sqrt{3x^2 + 13} - \sqrt[4]{3x^2 + 13} = 2$

ОДЗ: $3x^2 + 13 \ge 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $3x^2 + 13 > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[4]{3x^2 + 13}$. Тогда $y^2 = \sqrt{3x^2 + 13}$. По определению, $y \ge 0$.

Подставим в уравнение:

$y^2 - y = 2$

$y^2 - y - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие условию $y \ge 0$.

1. $y_1 = 2$. Условие $y \ge 0$ выполнено.

$\sqrt[4]{3x^2 + 13} = 2$

Возведем обе части в четвертую степень:

$3x^2 + 13 = 2^4$

$3x^2 + 13 = 16$

$3x^2 = 3$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$.

2. $y_2 = -1$. Этот корень является посторонним, так как не удовлетворяет условию $y \ge 0$.

Ответ: $x = \pm 1$.

4) $\sqrt{5 + \sqrt[3]{x}} + \sqrt{5 - \sqrt[3]{x}} = \sqrt[3]{x}$

Введем замену: пусть $y = \sqrt[3]{x}$. Уравнение примет вид:

$\sqrt{5 + y} + \sqrt{5 - y} = y$

Найдем ОДЗ для переменной $y$. Выражения под квадратными корнями должны быть неотрицательными:

$5 + y \ge 0 \implies y \ge -5$

$5 - y \ge 0 \implies y \le 5$

Объединяя, получаем: $-5 \le y \le 5$.

Кроме того, левая часть уравнения, как сумма двух неотрицательных чисел, сама является неотрицательной. Значит, и правая часть должна быть неотрицательной: $y \ge 0$.

Итоговое ОДЗ для $y$: $0 \le y \le 5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{5 + y} + \sqrt{5 - y})^2 = y^2$

$(5 + y) + 2\sqrt{(5 + y)(5 - y)} + (5 - y) = y^2$

$10 + 2\sqrt{25 - y^2} = y^2$

Уединим корень:

$2\sqrt{25 - y^2} = y^2 - 10$

Левая часть этого уравнения неотрицательна, значит $y^2 - 10 \ge 0$, откуда $y^2 \ge 10$. Так как $y \ge 0$, то $y \ge \sqrt{10}$.

Таким образом, ОДЗ для $y$ сужается до $\sqrt{10} \le y \le 5$.

Снова возведем в квадрат обе части уравнения $2\sqrt{25 - y^2} = y^2 - 10$:

$4(25 - y^2) = (y^2 - 10)^2$

$100 - 4y^2 = y^4 - 20y^2 + 100$

$y^4 - 16y^2 = 0$

$y^2(y^2 - 16) = 0$

Отсюда $y^2 = 0$ или $y^2 = 16$.

1. $y^2 = 0 \implies y = 0$. Этот корень не входит в ОДЗ $\sqrt{10} \le y \le 5$.

2. $y^2 = 16 \implies y = \pm 4$. Корень $y = -4$ не входит в ОДЗ. Корень $y=4$ входит в ОДЗ, так как $\sqrt{10} \approx 3.16$, и $\sqrt{10} \le 4 \le 5$.

Единственный подходящий корень $y=4$. Выполним проверку, подставив его в уравнение с заменой: $\sqrt{5+4} + \sqrt{5-4} = \sqrt{9} + \sqrt{1} = 3+1 = 4$. Правая часть $y=4$. Равенство $4=4$ верное.

Вернемся к переменной $x$:

$\sqrt[3]{x} = y = 4$

$x = 4^3 = 64$.

Ответ: $x = 64$.