Номер 14.17, страница 118 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

14.17. 1)

$\begin{cases} \sqrt{\frac{2x - 1}{y + 2}} + \sqrt{\frac{y + 2}{2x - 1}} = 2, \\ x + y = 12; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sqrt{\frac{6x}{x + y}} + \sqrt{\frac{x + y}{6x}} = \frac{5}{2}, \\ xy - x - y = 0. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt{\frac{2x - 1}{y + 2}} + \sqrt{\frac{y + 2}{2x - 1}} = 2 \\ x + y = 12 \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что подкоренные выражения должны быть неотрицательны, а знаменатели не равны нулю. Следовательно, выражение $\frac{2x - 1}{y + 2}$ должно быть строго положительным: $\frac{2x - 1}{y + 2} > 0$. Это означает, что числитель и знаменатель должны иметь одинаковый знак: $(2x - 1 > 0$ и $y + 2 > 0)$ или $(2x - 1 < 0$ и $y + 2 < 0)$.

Рассмотрим первое уравнение. Сделаем замену: пусть $t = \sqrt{\frac{2x - 1}{y + 2}}$. Так как корень арифметический, $t > 0$. Тогда первое уравнение принимает вид: $t + \frac{1}{t} = 2$.

Умножим обе части уравнения на $t$ (это возможно, так как $t \ne 0$): $t^2 + 1 = 2t$ $t^2 - 2t + 1 = 0$ $(t - 1)^2 = 0$ Отсюда получаем, что $t = 1$.

Вернемся к исходным переменным: $\sqrt{\frac{2x - 1}{y + 2}} = 1$. Возведем обе части в квадрат: $\frac{2x - 1}{y + 2} = 1$ $2x - 1 = y + 2$ $2x - y = 3$.

Теперь мы имеем систему двух линейных уравнений: $ \begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + y = 12 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить $y$: $(2x - y) + (x + y) = 3 + 12$ $3x = 15$ $x = 5$.

Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение системы: $5 + y = 12$ $y = 7$.

Проверим, удовлетворяет ли решение $(5, 7)$ ОДЗ. $2x - 1 = 2(5) - 1 = 9 > 0$. $y + 2 = 7 + 2 = 9 > 0$. Оба выражения положительны, значит, ОДЗ выполнено.

Ответ: $(5, 7)$.

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt{\frac{6x}{x+y}} + \sqrt{\frac{x+y}{6x}} = \frac{5}{2} \\ xy - x - y = 0 \end{cases} $

ОДЗ: подкоренное выражение должно быть строго положительным, т.е. $\frac{6x}{x+y} > 0$. Это значит, что $x \ne 0$, $x+y \ne 0$, и $x$ и $x+y$ имеют одинаковый знак.

Введем замену в первом уравнении: пусть $t = \sqrt{\frac{6x}{x+y}}$. Так как $t$ - это арифметический корень, $t > 0$. Уравнение принимает вид: $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$.

Умножим обе части на $2t$ (так как $t \ne 0$): $2t^2 + 2 = 5t$ $2t^2 - 5t + 2 = 0$. Это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его корни: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$. $t_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. $t_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$. Оба корня положительны, поэтому подходят. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $t = 2$. $\sqrt{\frac{6x}{x+y}} = 2$. Возводим в квадрат: $\frac{6x}{x+y} = 4 \implies 6x = 4(x+y) \implies 6x = 4x + 4y \implies 2x = 4y \implies x = 2y$. Подставим $x=2y$ во второе уравнение системы $xy - x - y = 0$: $(2y)y - 2y - y = 0$ $2y^2 - 3y = 0$ $y(2y - 3) = 0$. Получаем $y=0$ или $y=3/2$. Если $y=0$, то $x=0$. Пара $(0, 0)$ не входит в ОДЗ, так как $x \ne 0$. Если $y=3/2$, то $x=2(3/2)=3$. Пара $(3, 3/2)$. Проверим ОДЗ: $\frac{6(3)}{3+3/2} = \frac{18}{9/2} = 4 > 0$. Решение подходит.

Случай 2: $t = 1/2$. $\sqrt{\frac{6x}{x+y}} = \frac{1}{2}$. Возводим в квадрат: $\frac{6x}{x+y} = \frac{1}{4} \implies 24x = x+y \implies y = 23x$. Подставим $y=23x$ во второе уравнение системы $xy - x - y = 0$: $x(23x) - x - 23x = 0$ $23x^2 - 24x = 0$ $x(23x - 24) = 0$. Получаем $x=0$ или $x=24/23$. Если $x=0$, то $y=0$. Как мы уже выяснили, это решение не подходит. Если $x=24/23$, то $y=23(24/23)=24$. Пара $(24/23, 24)$. Проверим ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$, значит $x+y > 0$, и дробь $\frac{6x}{x+y}$ будет положительна. Решение подходит.

Ответ: $(3, 3/2), (24/23, 24)$.