Номер 14.13, страница 117 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Решите уравнения (14.13–14.15):

14.13. 1) $\sqrt{x+6} + \sqrt{x+1} = \sqrt{7x+4}$;

2) $\sqrt[5]{x\sqrt{x}} - \sqrt[5]{x\sqrt{x}} = 56$;

3) $\sqrt[3]{x+2} - \sqrt[3]{x+17} = 1$;

4) $\sqrt[3]{24+\sqrt{x}} - \sqrt[3]{5+\sqrt{x}} = 1$.

1) Исходное уравнение: $\sqrt{x+6} + \sqrt{x+1} = \sqrt{7x+4}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$x+6 \ge 0 \implies x \ge -6$

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$

$7x+4 \ge 0 \implies x \ge -4/7$

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \ge -4/7$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+6} + \sqrt{x+1})^2 = (\sqrt{7x+4})^2$

$(x+6) + 2\sqrt{(x+6)(x+1)} + (x+1) = 7x+4$

$2x + 7 + 2\sqrt{x^2 + 7x + 6} = 7x+4$

Уединим корень:

$2\sqrt{x^2 + 7x + 6} = 5x - 3$

Прежде чем снова возводить в квадрат, необходимо учесть, что правая часть должна быть неотрицательной: $5x - 3 \ge 0$, что дает $x \ge 3/5$. Это условие более сильное, чем ОДЗ, поэтому далее работаем с ним.

Возводим в квадрат еще раз:

$4(x^2 + 7x + 6) = (5x - 3)^2$

$4x^2 + 28x + 24 = 25x^2 - 30x + 9$

$21x^2 - 58x - 15 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-58)^2 - 4(21)(-15) = 3364 + 1260 = 4624 = 68^2$

$x_1 = \frac{58 + 68}{2 \cdot 21} = \frac{126}{42} = 3$

$x_2 = \frac{58 - 68}{2 \cdot 21} = \frac{-10}{42} = -\frac{5}{21}$

Проверим корни на соответствие условию $x \ge 3/5$.

$x_1 = 3$: $3 \ge 3/5$. Корень подходит.

$x_2 = -5/21$: $-5/21 < 3/5$. Это посторонний корень.

Выполним проверку для $x=3$ в исходном уравнении:

$\sqrt{3+6} + \sqrt{3+1} = \sqrt{9} + \sqrt{4} = 3 + 2 = 5$

$\sqrt{7 \cdot 3 + 4} = \sqrt{21+4} = \sqrt{25} = 5$

$5 = 5$. Решение верное.

Ответ: 3

2) Исходное уравнение: $\sqrt{x\sqrt[5]{x}} - \sqrt[5]{x\sqrt{x}} = 56$.

ОДЗ: $x \ge 0$. Заметим, что $x=0$ не является решением.

Преобразуем выражения, используя свойства степеней:

$\sqrt{x\sqrt[5]{x}} = \sqrt{x \cdot x^{1/5}} = \sqrt{x^{6/5}} = (x^{6/5})^{1/2} = x^{3/5}$

$\sqrt[5]{x\sqrt{x}} = \sqrt[5]{x \cdot x^{1/2}} = \sqrt[5]{x^{3/2}} = (x^{3/2})^{1/5} = x^{3/10}$

Уравнение принимает вид:

$x^{3/5} - x^{3/10} = 56$

Сделаем замену. Пусть $y = x^{3/10}$. Тогда $y^2 = (x^{3/10})^2 = x^{6/10} = x^{3/5}$. Так как $x > 0$, то $y > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$y^2 - y - 56 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $y_1 = 8$ и $y_2 = -7$.

Поскольку $y > 0$, корень $y_2 = -7$ является посторонним. Остается $y=8$.

Выполним обратную замену:

$x^{3/10} = 8$

$x = 8^{10/3} = (2^3)^{10/3} = 2^{3 \cdot (10/3)} = 2^{10} = 1024$

Проверка: $x=1024$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 1024

3) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{x+2} - \sqrt[3]{x+17} = 1$.

ОДЗ: $x \in R$.

Сделаем замену. Пусть $a = \sqrt[3]{x+2}$ и $b = \sqrt[3]{x+17}$.

Тогда уравнение примет вид $a - b = 1$.

Выразим разность кубов этих величин:

$a^3 = x+2$

$b^3 = x+17$

$a^3 - b^3 = (x+2) - (x+17) = -15$.

Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Подставим известные значения:

$-15 = 1 \cdot (a^2+ab+b^2)$, откуда $a^2+ab+b^2 = -15$.

Используем также формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Из $a-b=1$ следует $(a-b)^2=1$.

$a^2-2ab+b^2=1$.

Теперь у нас есть система:

$a^2+ab+b^2 = -15$

$a^2-2ab+b^2 = 1$

Вычтем из первого уравнения второе: $(a^2+ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2) = -15 - 1$, что дает $3ab = -16$, или $ab = -16/3$.

Теперь решаем систему: $a-b=1$ и $ab = -16/3$.

Из первого уравнения $a=b+1$. Подставим во второе: $(b+1)b = -16/3$.

$b^2 + b + 16/3 = 0$.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (16/3) = 1 - 64/3 = -61/3$.

Так как $D < 0$, действительных решений для $b$ не существует. Следовательно, исходное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет

4) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{24+\sqrt{x}} - \sqrt[3]{5+\sqrt{x}} = 1$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Этот пример решается аналогично предыдущему. Пусть $u = \sqrt{x}$, где $u \ge 0$.

Уравнение принимает вид: $\sqrt[3]{24+u} - \sqrt[3]{5+u} = 1$.

Введем замены: $a = \sqrt[3]{24+u}$ и $b = \sqrt[3]{5+u}$.

Получаем систему:

$a-b = 1$

$a^3 - b^3 = (24+u) - (5+u) = 19$

Используем тождество $(a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b)$.

Подставим известные значения: $1^3 = 19 - 3ab(1)$.

$1 = 19 - 3ab \implies 3ab = 18 \implies ab = 6$.

Решаем систему: $a-b=1$ и $ab=6$.

Из первого уравнения $a=b+1$. Подставляем во второе: $(b+1)b = 6$.

$b^2+b-6=0$

По теореме Виета, корни: $b_1 = 2$ и $b_2 = -3$.

Рассмотрим оба случая для $b = \sqrt[3]{5+u}$:

1) Если $b=2$: $\sqrt[3]{5+u} = 2 \implies 5+u = 2^3 = 8 \implies u=3$.

2) Если $b=-3$: $\sqrt[3]{5+u} = -3 \implies 5+u = (-3)^3 = -27 \implies u=-32$.

По условию $u=\sqrt{x} \ge 0$, поэтому решение $u=-32$ является посторонним. Остается $u=3$.

Производим обратную замену: $\sqrt{x} = 3 \implies x = 3^2 = 9$.

Проверка: $\sqrt[3]{24+\sqrt{9}} - \sqrt[3]{5+\sqrt{9}} = \sqrt[3]{24+3} - \sqrt[3]{5+3} = \sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{8} = 3-2=1$. Верно.

Ответ: 9