Номер 14.19, страница 118 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

14.19. Решите однородное уравнение:

1) $ \sin^2x - 2\sin x\cos x - 3\cos^2x = 0; $

2) $ 3\sin^2x - 14\sin x\cos x - 5\cos^2x = 0. $

1) $\sin^2 x - 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ следует, что $\sin^2 x = 1$. Подставив эти значения в исходное уравнение, получим: $1 - 2 \cdot (\pm 1) \cdot 0 - 3 \cdot 0 = 1 \neq 0$. Значит, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$.

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{3\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$\tan^2 x - 2\tan x - 3 = 0$

Введем замену $t = \tan x$, получим квадратное уравнение:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Вернемся к переменной $x$:

1. $\tan x = 3 \implies x = \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. $\tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $3\sin^2 x - 14\sin x \cos x - 5\cos^2 x = 0$

Это также однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Как и в предыдущем случае, $\cos x \neq 0$. Если предположить, что $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Уравнение примет вид $3 \cdot 1 - 0 - 0 = 3 \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$.

$\frac{3\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{14\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{5\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$3\tan^2 x - 14\tan x - 5 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$:

$3t^2 - 14t - 5 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$.

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Выполним обратную замену:

1. $\tan x = 5 \implies x = \arctan(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. $\tan x = -\frac{1}{3} \implies x = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi k = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.