Вопросы, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Почему считается важным предположить неотрицательными обе части иррационального неравенства?

2. В чем состоит принципиальное смысловое различие между двумя утверждениями, данными в начале параграфа и используемыми при решении иррациональных неравенств?

3. На каких свойствах функции основаны вышеприведенные 9 соотношений?

1. Почему считается важным предположить неотрицательными обе части иррационального неравенства?

Основным методом решения иррациональных неравенств является возведение обеих частей в квадрат с целью избавления от знака радикала. Эта операция является равносильным преобразованием, то есть сохраняет знак неравенства, только в том случае, когда обе части неравенства неотрицательны. Иными словами, для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ из неравенства $a > b$ следует неравенство $a^2 > b^2$, и наоборот.

Если же хотя бы одна из частей неравенства отрицательна, то при возведении в квадрат можно получить неверное неравенство и, как следствие, неверное решение. Например, неравенство $3 > -4$ является верным, однако после возведения обеих частей в квадрат мы получим $9 > 16$, что ложно. Таким образом, чтобы избежать появления посторонних решений или потери верных, необходимо строго контролировать знаки обеих частей неравенства перед возведением в квадрат. Если мы не можем гарантировать их неотрицательность, применять метод возведения в квадрат нельзя без рассмотрения дополнительных случаев.

Ответ: Предположение о неотрицательности обеих частей иррационального неравенства является ключевым условием для корректного применения метода возведения в квадрат, так как только для неотрицательных выражений возведение в квадрат является равносильным преобразованием, сохраняющим знак неравенства.

2. В чем состоит принципиальное смысловое различие между двумя утверждениями, данными в начале параграфа и используемыми при решении иррациональных неравенств?

Хотя сам параграф не предоставлен, можно с уверенностью предположить, что речь идет о стандартных схемах решения двух основных типов иррациональных неравенств: $\sqrt{f(x)} < g(x)$ и $\sqrt{f(x)} > g(x)$. Принципиальное различие между подходами к их решению заключается в анализе знака выражения $g(x)$, стоящего в части неравенства без радикала.

1. Для неравенства вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$: левая часть по определению арифметического корня неотрицательна ($\sqrt{f(x)} \ge 0$). Чтобы неравенство имело решение, правая часть должна быть строго больше левой, а значит, обязательно положительной ($g(x) > 0$). Если $g(x) \le 0$, решений нет. Таким образом, решение сводится к одной системе условий, которые должны выполняться одновременно:

$\sqrt{f(x)} < g(x) \iff \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases}$

2. Для неравенства вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$: здесь ситуация сложнее и требует рассмотрения двух независимых случаев, поскольку правая часть $g(x)$ может быть как отрицательной, так и неотрицательной. Решение является объединением (совокупностью) решений двух систем:

а) Случай 1: Если $g(x) < 0$. Неравенство выполняется для всех $x$, при которых левая часть определена (то есть $f(x) \ge 0$), так как любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного.

б) Случай 2: Если $g(x) \ge 0$. Обе части неравенства неотрицательны, и можно корректно возвести их в квадрат.

Это приводит к следующей равносильной совокупности:

$\sqrt{f(x)} > g(x) \iff \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) < 0 \end{cases} \\ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases} \end{array} \right.$

Таким образом, смысловое различие состоит в том, что решение неравенства типа "меньше" требует выполнения единого набора строгих условий (решается через систему), в то время как решение неравенства типа "больше" требует анализа двух отдельных случаев, решения которых затем объединяются (решается через совокупность).

Ответ: Принципиальное различие заключается в том, что решение неравенства $\sqrt{f(x)} < g(x)$ сводится к одной системе условий (логическое "И"), тогда как решение неравенства $\sqrt{f(x)} > g(x)$ является объединением решений двух отдельных случаев (логическое "ИЛИ"), которые зависят от знака выражения $g(x)$.

3. На каких свойствах функции основаны вышеприведенные 9 соотношений?

Хотя конкретные 9 соотношений не приведены, все стандартные методы решения иррациональных неравенств (которые, вероятно, и составляют эти соотношения) основаны на свойстве монотонности степенной функции.

Ключевым свойством, которое используется при решении неравенств с квадратными корнями, является то, что функция $y = x^2$ строго возрастает на множестве неотрицательных чисел, то есть на промежутке $[0, +\infty)$.

Это свойство означает, что для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо равносильное утверждение (эквивалентность):

$a < b \iff a^2 < b^2$

Именно это свойство позволяет нам избавляться от знака корня путем возведения в квадрат обеих частей неравенства. Однако оно работает только при обязательном условии, что обе части неотрицательны. Если это условие не выполняется, преобразование не является равносильным, поскольку на всей числовой прямой функция $y = x^2$ не монотонна (она убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$).

Аналогично, решение неравенств вида $\sqrt[2k]{f(x)} < \sqrt[2k]{g(x)}$ основано на свойстве строгой монотонности функции $y = \sqrt[2k]{x}$ на всей ее области определения $[0, +\infty)$.

Ответ: Равносильные преобразования, используемые при решении иррациональных неравенств, основаны на свойстве строгой монотонности (возрастания) степенной функции $y=x^n$ (при четном натуральном $n$) на промежутке $[0, +\infty)$.