Номер 14.11, страница 117 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Решите систему уравнений (14.11–14.12):

14.11. 1)

$\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 4, \\ x + y = 28; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y = 72, \\ \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 6. \end{cases}$

14.11. 1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 4, \\ x + y = 28. \end{cases} $

Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$. Тогда из замены следует, что $x = a^3$ и $y = b^3$.

Подставим новые переменные в исходную систему, получим: $ \begin{cases} a + b = 4, \\ a^3 + b^3 = 28. \end{cases} $

Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Подставим известные значения из системы в эту формулу:

$28 = 4 \cdot (a^2 - ab + b^2)$

Разделим обе части уравнения на 4:

$a^2 - ab + b^2 = 7$

Преобразуем левую часть, выделив полный квадрат: $a^2 - ab + b^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - 3ab = (a+b)^2 - 3ab$.

Получаем уравнение:

$(a+b)^2 - 3ab = 7$

Подставим известное значение $a+b=4$:

$4^2 - 3ab = 7$

$16 - 3ab = 7$

$3ab = 16 - 7$

$3ab = 9$

$ab = 3$

Таким образом, мы получили новую, более простую систему для переменных $a$ и $b$: $ \begin{cases} a + b = 4, \\ ab = 3. \end{cases} $

По обратной теореме Виета, переменные $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$.

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Корнями этого уравнения являются $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Это дает нам две возможные пары значений для $(a, b)$:

1) $a=1, b=3$

2) $a=3, b=1$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$.

В первом случае: $a = \sqrt[3]{x} = 1 \implies x = 1^3 = 1$, и $b = \sqrt[3]{y} = 3 \implies y = 3^3 = 27$.

Во втором случае: $a = \sqrt[3]{x} = 3 \implies x = 3^3 = 27$, и $b = \sqrt[3]{y} = 1 \implies y = 1^3 = 1$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1, 27), (27, 1)$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 72, \\ \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 6. \end{cases} $

Данная система решается аналогично предыдущей. Введем замену: $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$. Отсюда $x=a^3$ и $y=b^3$.

Система в новых переменных: $ \begin{cases} a^3 + b^3 = 72, \\ a + b = 6. \end{cases} $

Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:

$72 = 6 \cdot (a^2 - ab + b^2)$

$a^2 - ab + b^2 = 12$

Используем преобразование $(a+b)^2 - 3ab = a^2 - ab + b^2$:

$(a+b)^2 - 3ab = 12$

Подставим $a+b=6$:

$6^2 - 3ab = 12$

$36 - 3ab = 12$

$3ab = 36 - 12$

$3ab = 24$

$ab = 8$

Получаем систему: $ \begin{cases} a + b = 6, \\ ab = 8. \end{cases} $

По обратной теореме Виета, $a$ и $b$ — корни квадратного уравнения $t^2 - 6t + 8 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 2, t_2 = 4$.

Следовательно, у нас есть две пары решений для $(a, b)$: $(2, 4)$ и $(4, 2)$.

Произведем обратную замену:

1) $a = \sqrt[3]{x} = 2 \implies x = 8$, и $b = \sqrt[3]{y} = 4 \implies y = 64$.

2) $a = \sqrt[3]{x} = 4 \implies x = 64$, и $b = \sqrt[3]{y} = 2 \implies y = 8$.

Система имеет два симметричных решения.

Ответ: $(8, 64), (64, 8)$.