Номер 14.5, страница 116 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

14.5. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5, \\ x + y = 13. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1. \end{cases} $

Данная система является линейной относительно переменных $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$. Решим ее методом алгебраического сложения. Сложим первое и второе уравнения, чтобы исключить $\sqrt{y}$:

$(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 3 + 1$

$2\sqrt{x} = 4$

Разделим обе части на 2:

$\sqrt{x} = 2$

Чтобы найти $x$, возведем обе части последнего равенства в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 2^2$

$x = 4$

Теперь подставим найденное значение $\sqrt{x} = 2$ в первое уравнение системы:

$2 + \sqrt{y} = 3$

$\sqrt{y} = 3 - 2$

$\sqrt{y} = 1$

Возведем обе части в квадрат, чтобы найти $y$:

$(\sqrt{y})^2 = 1^2$

$y = 1$

Проверим найденное решение $(4, 1)$, подставив его в исходную систему:

$\sqrt{4} + \sqrt{1} = 2 + 1 = 3$ (верно)

$\sqrt{4} - \sqrt{1} = 2 - 1 = 1$ (верно)

Ответ: $(4, 1)$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5, \\ x + y = 13. \end{cases} $

По определению квадратного корня, должно выполняться условие $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Возведем обе части первого уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = 5^2$

$(\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = 25$

$x + y + 2\sqrt{xy} = 25$

Из второго уравнения системы мы знаем, что $x + y = 13$. Подставим это значение в полученное уравнение:

$13 + 2\sqrt{xy} = 25$

$2\sqrt{xy} = 25 - 13$

$2\sqrt{xy} = 12$

$\sqrt{xy} = 6$

Теперь задача сводится к решению новой, более простой системы:

$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5, \\ \sqrt{xy} = 6. \end{cases} $

Сделаем замену переменных: пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$ (где $a \ge 0, b \ge 0$). Система примет вид:

$ \begin{cases} a + b = 5, \\ ab = 6. \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$, то есть $t^2 - 5t + 6 = 0$.

Найдем корни этого уравнения, например, разложением на множители:

$(t-2)(t-3) = 0$

Корни уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.

Таким образом, для пары $(a, b)$ есть два возможных варианта: $(2, 3)$ или $(3, 2)$.

Выполним обратную замену для каждого случая:

Случай 1: $a = \sqrt{x} = 2$ и $b = \sqrt{y} = 3$.

Отсюда $x = 2^2 = 4$ и $y = 3^2 = 9$. Получаем решение $(4, 9)$.

Случай 2: $a = \sqrt{x} = 3$ и $b = \sqrt{y} = 2$.

Отсюда $x = 3^2 = 9$ и $y = 2^2 = 4$. Получаем решение $(9, 4)$.

Проверим оба решения:

Для $(4, 9)$: $\sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5$ и $4+9=13$. (Верно)

Для $(9, 4)$: $\sqrt{9}+\sqrt{4}=3+2=5$ и $9+4=13$. (Верно)

Ответ: $(4, 9), (9, 4)$.