Номер 14.2, страница 116 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

14.2. 1) $\sqrt[3]{x+2} = 3;$

2) $\sqrt[4]{x-3} = 2;$

3) $3+\sqrt{x+3} = x;$

4) $5+\sqrt{x+1} = x.$

1) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{x + 2} = 3$.

Чтобы избавиться от кубического корня, возведем обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{x + 2})^3 = 3^3$

$x + 2 = 27$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Перенесем 2 в правую часть:

$x = 27 - 2$

$x = 25$

Так как корень нечетной степени, возведение в нечетную степень является равносильным преобразованием и не вводит посторонних корней. Проверка необязательна, но для уверенности подставим найденное значение в исходное уравнение:

$\sqrt[3]{25 + 2} = \sqrt[3]{27} = 3$.

$3 = 3$.

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: 25.

2) Исходное уравнение: $\sqrt[4]{x - 3} = 2$.

Чтобы избавиться от корня четвертой степени, возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{x - 3})^4 = 2^4$

$x - 3 = 16$

Решим полученное линейное уравнение. Перенесем -3 в правую часть:

$x = 16 + 3$

$x = 19$

Так как мы возводили в четную степень, необходимо выполнить проверку. Область допустимых значений (ОДЗ) для подкоренного выражения: $x - 3 \geq 0$, то есть $x \geq 3$. Найденный корень $x=19$ удовлетворяет этому условию.

Подставим корень в исходное уравнение:

$\sqrt[4]{19 - 3} = \sqrt[4]{16} = 2$.

$2 = 2$.

Равенство верное, корень найден правильно.

Ответ: 19.

3) Исходное уравнение: $3 + \sqrt{x + 3} = x$.

Сначала изолируем радикал (квадратный корень) в одной части уравнения:

$\sqrt{x + 3} = x - 3$

Прежде чем возводить в квадрат, определим область допустимых значений (ОДЗ). Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3$. Во-вторых, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$. Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $x \geq 3$.

Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{x + 3} = x - 3$ в квадрат:

$(\sqrt{x + 3})^2 = (x - 3)^2$

$x + 3 = x^2 - 6x + 9$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 6x - x + 9 - 3 = 0$

$x^2 - 7x + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 6. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \geq 3$):

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $1 \geq 3$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет условию $6 \geq 3$.

Выполним проверку, подставив $x = 6$ в исходное уравнение:

$3 + \sqrt{6 + 3} = 3 + \sqrt{9} = 3 + 3 = 6$. Правая часть $x=6$.

$6 = 6$.

Равенство верное.

Ответ: 6.

4) Исходное уравнение: $5 + \sqrt{x + 1} = x$.

Изолируем радикал:

$\sqrt{x + 1} = x - 5$

Определим ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$. Правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $x - 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq 5$. Общее ОДЗ для данного уравнения: $x \geq 5$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x + 1})^2 = (x - 5)^2$

$x + 1 = x^2 - 10x + 25$

Приведем к стандартному квадратному виду:

$x^2 - 10x - x + 25 - 1 = 0$

$x^2 - 11x + 24 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 11, а произведение равно 24. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = 8$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \geq 5$):

Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $3 \geq 5$, значит, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 8$ удовлетворяет условию $8 \geq 5$.

Выполним проверку, подставив $x = 8$ в исходное уравнение:

$5 + \sqrt{8 + 1} = 5 + \sqrt{9} = 5 + 3 = 8$. Правая часть $x=8$.

$8 = 8$.

Равенство верное.

Ответ: 8.