Номер 11, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

11. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x^4}$, $x = 1$, $x = 3$, $y = 0$:

A) $\frac{28}{81}$;

B) $\frac{26}{81}$;

C) $\frac{8}{27}$;

D) $\frac{29}{81}$.

Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = f(x)$, осью абсцисс $y = 0$, и вертикальными прямыми $x = a$ и $x = b$, где $f(x) \geq 0$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

В данной задаче фигура ограничена графиком функции $y = \frac{1}{x^4}$, осью $y = 0$ и прямыми $x = 1$ и $x = 3$. На отрезке $[1, 3]$ функция $y = \frac{1}{x^4}$ принимает неотрицательные значения. Следовательно, для нахождения площади нужно вычислить следующий определенный интеграл:

$S = \int_{1}^{3} \frac{1}{x^4} \,dx$

Для вычисления интеграла сначала найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{x^4} = x^{-4}$. Используем формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int x^{-4} \,dx = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ - первообразная для $f(x)$:

$S = \int_{1}^{3} \frac{1}{x^4} \,dx = \left. \left( -\frac{1}{3x^3} \right) \right|_{1}^{3} = \left( -\frac{1}{3 \cdot 3^3} \right) - \left( -\frac{1}{3 \cdot 1^3} \right)$

Выполним вычисления:

$S = \left( -\frac{1}{3 \cdot 27} \right) - \left( -\frac{1}{3} \right) = -\frac{1}{81} + \frac{1}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю 81:

$S = -\frac{1}{81} + \frac{1 \cdot 27}{3 \cdot 27} = -\frac{1}{81} + \frac{27}{81} = \frac{27 - 1}{81} = \frac{26}{81}$

Полученный результат соответствует варианту ответа B.

Ответ: $\frac{26}{81}$