Номер 13, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13. Вычислите объем тела, полученного вращением графика функции $y = \frac{3}{\sqrt{10}} x^{\frac{1}{3}}$ вокруг оси $Ox$ от точки $x = 0$ до точки $x = 1$:

A) $\pi$;

B) $\frac{9}{10}\pi$;

C) $\frac{10}{9}\pi$;

D) $\frac{27}{50}\pi$.

Для вычисления объема тела, полученного вращением графика функции $y = f(x)$ вокруг оси $Ox$ на отрезке $[a, b]$, используется формула объема тела вращения (метод дисков):

$V = \pi \int_{a}^{b} [y(x)]^2 dx$

В нашем случае задана функция $y = \frac{3}{\sqrt{10}}x^{\frac{1}{3}}$ и отрезок интегрирования от $a=0$ до $b=1$.

1. Сначала найдем квадрат функции $y(x)$:

$[y(x)]^2 = \left(\frac{3}{\sqrt{10}}x^{\frac{1}{3}}\right)^2 = \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 \cdot \left(x^{\frac{1}{3}}\right)^2 = \frac{9}{10}x^{\frac{2}{3}}$

2. Теперь подставим это выражение в формулу для объема и вычислим определенный интеграл:

$V = \pi \int_{0}^{1} \frac{9}{10}x^{\frac{2}{3}} dx$

Вынесем постоянный множитель $\frac{9}{10}$ за знак интеграла:

$V = \frac{9\pi}{10} \int_{0}^{1} x^{\frac{2}{3}} dx$

3. Найдем первообразную для подынтегральной функции $x^{\frac{2}{3}}$, используя табличный интеграл $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int x^{\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}$

4. Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$:

$V = \frac{9\pi}{10} \left[ \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} \right]_{0}^{1} = \frac{9\pi}{10} \left( \left(\frac{3}{5} \cdot 1^{\frac{5}{3}}\right) - \left(\frac{3}{5} \cdot 0^{\frac{5}{3}}\right) \right)$

$V = \frac{9\pi}{10} \left( \frac{3}{5} \cdot 1 - \frac{3}{5} \cdot 0 \right) = \frac{9\pi}{10} \cdot \frac{3}{5} = \frac{27\pi}{50}$

Полученный результат соответствует варианту D).

Ответ: $D) \frac{27}{50}\pi$.