Страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Какие свойства показательной функции определяют основание показательной функции?

2. На чем основано утверждение о том, что график любой показательной функции проходит через точку $(0;1)$?

3. Графики каких двух показательных функций будут расположены симметрично относительно оси ординат?

4. Как изменяются значения функции $y = a^x$ при возрастании $x$ во множестве действительных чисел, если: 1) $a > 1$; 2) $0 < a < 1$?

1. Основание $a$ показательной функции $y = a^x$ определяется следующими свойствами: оно должно быть строго положительным числом ($a > 0$) и не должно равняться единице ($a \neq 1$). Условие $a > 0$ необходимо для того, чтобы функция была определена для всех действительных значений показателя $x$ (например, чтобы избежать извлечения корня четной степени из отрицательного числа). Условие $a \neq 1$ вводится для того, чтобы исключить тривиальный случай постоянной функции $y = 1^x = 1$, которая не обладает свойствами показательной функции. Ответ: Основание показательной функции должно быть больше нуля и не равно единице, то есть $a > 0$ и $a \neq 1$.

2. Утверждение о том, что график любой показательной функции $y = a^x$ проходит через точку $(0;1)$, основано на фундаментальном свойстве степеней. По определению, любое отличное от нуля число, возведенное в нулевую степень, равно единице. Так как для показательной функции основание $a$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$, оно всегда отлично от нуля. Поэтому при подстановке $x = 0$ в уравнение функции мы получаем $y = a^0 = 1$. Это означает, что независимо от конкретного значения основания $a$, график функции всегда будет проходить через точку с координатами $(0;1)$. Ответ: Это утверждение основано на свойстве $a^0 = 1$ для любого допустимого основания $a$ показательной функции.

3. Симметрично относительно оси ординат (оси $y$) будут расположены графики двух показательных функций, основания которых являются взаимно обратными числами. Если одна функция задана уравнением $y = a^x$ (где $a > 0, a \neq 1$), то симметричная ей относительно оси ординат функция будет иметь уравнение $y = (1/a)^x$. Это можно показать, используя свойства степеней: $(1/a)^x = (a^{-1})^x = a^{-x}$. Преобразование, при котором аргумент $x$ заменяется на $-x$, как раз и является математической операцией, соответствующей симметричному отражению графика функции относительно оси $y$. Ответ: Графики функций $y = a^x$ и $y = (1/a)^x$.

4. Характер изменения значений функции $y = a^x$ при возрастании аргумента $x$ на множестве действительных чисел целиком зависит от величины ее основания $a$.

1) Если основание $a > 1$, то показательная функция является строго возрастающей. Это означает, что при увеличении значения $x$, значение функции $y$ также увеличивается. Формально, для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $a^{x_2} > a^{x_1}$.

2) Если основание находится в интервале $0 < a < 1$, то показательная функция является строго убывающей. Это означает, что при увеличении значения $x$, значение функции $y$ уменьшается. Формально, для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $a^{x_2} < a^{x_1}$.

Ответ: 1) при $a > 1$ значения функции возрастают; 2) при $0 < a < 1$ значения функции убывают.

19.1. Постройте графики функций $y = 3^x$ и $y = (\frac{1}{3})^x$ на одной координатной плоскости.

19.1. Для построения графиков функций $y = 3^x$ и $y = (\frac{1}{3})^x$ на одной координатной плоскости, необходимо проанализировать каждую функцию, найти координаты нескольких ключевых точек, а затем соединить эти точки плавными линиями.

1. Анализ и построение графика функции $y = 3^x$.

Это показательная функция с основанием $a = 3$. Так как основание $a > 1$, функция является возрастающей на всей своей области определения.

Основные свойства:

- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.

- График проходит через точку $(0; 1)$, поскольку $3^0 = 1$.

- Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to -\infty$.

Составим таблицу значений для построения:

при $x = -2$, $y = 3^{-2} = \frac{1}{9}$;

при $x = -1$, $y = 3^{-1} = \frac{1}{3}$;

при $x = 0$, $y = 3^0 = 1$;

при $x = 1$, $y = 3^1 = 3$;

при $x = 2$, $y = 3^2 = 9$.

2. Анализ и построение графика функции $y = (\frac{1}{3})^x$.

Это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{3}$. Так как основание $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей своей области определения.

Эту функцию можно также записать как $y = (3^{-1})^x = 3^{-x}$. Это означает, что её график симметричен графику функции $y=3^x$ относительно оси ординат ($Oy$).

Основные свойства:

- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.

- График также проходит через точку $(0; 1)$, поскольку $(\frac{1}{3})^0 = 1$.

- Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to +\infty$.

Составим таблицу значений для построения:

при $x = -2$, $y = (\frac{1}{3})^{-2} = 9$;

при $x = -1$, $y = (\frac{1}{3})^{-1} = 3$;

при $x = 0$, $y = (\frac{1}{3})^0 = 1$;

при $x = 1$, $y = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$;

при $x = 2$, $y = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.

3. Построение на одной координатной плоскости.

Отмечаем вычисленные точки для обеих функций на одной системе координат и соединяем их плавными кривыми.

- График $y = 3^x$ проходит через точки $(-2; \frac{1}{9})$, $(-1; \frac{1}{3})$, $(0; 1)$, $(1; 3)$, $(2; 9)$. Это плавно возрастающая кривая.

- График $y = (\frac{1}{3})^x$ проходит через точки $(-2; 9)$, $(-1; 3)$, $(0; 1)$, $(1; \frac{1}{3})$, $(2; \frac{1}{9})$. Это плавно убывающая кривая.

Оба графика не пересекают ось $Ox$ и расположены выше неё. Они пересекаются друг с другом в точке $(0; 1)$ и симметричны относительно оси $Oy$.

Ответ: Графики функций $y = 3^x$ и $y = (\frac{1}{3})^x$ построены. График $y=3^x$ является возрастающей кривой, а график $y=(\frac{1}{3})^x$ — убывающей. Обе кривые проходят через точку $(0,1)$ и симметричны друг другу относительно оси ординат $Oy$.

19.2. Найдите область определения функции $y = f(x)$:

1) $f(x)=4^{\frac{1}{x}}$;

2) $f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{x^2}}$;

3) $f(x)=\frac{1}{7^x}$;

4) $f(x)=0.35^x$.

1) Область определения функции $f(x) = 4^{\frac{1}{x}}$ находится из условия, что показатель степени должен быть определен. Выражение в показателе степени $\frac{1}{x}$ представляет собой дробь, которая определена для всех значений $x$, при которых ее знаменатель не равен нулю. Таким образом, необходимо выполнение условия $x \neq 0$. Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме 0.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = (\frac{1}{3})^{\frac{1}{x^2}}$ область определения также зависит от показателя степени $\frac{1}{x^2}$. Это выражение определено, когда его знаменатель $x^2$ не равен нулю. Уравнение $x^2 = 0$ имеет единственный корень $x=0$. Следовательно, $x \neq 0$. Область определения функции — это все действительные числа, кроме 0.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3) Функция $f(x) = \frac{1}{7^x}$ является дробью. Она определена для всех значений $x$, при которых знаменатель $7^x$ не равен нулю. Показательная функция $y=a^x$ при $a>0$ и $a \neq 1$ принимает только положительные значения, то есть $7^x > 0$ для любого действительного числа $x$. Таким образом, знаменатель никогда не равен нулю. Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

4) Функция $f(x) = 0.35^x$ является показательной функцией с основанием $a = 0.35$. Так как основание $a=0.35$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$, данная функция определена для любого действительного значения $x$. Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

19.3. Найдите область значения функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^x - 2$;

2) $f(x) = 6^{x+2} + \frac{1}{4}$;

3) $f(x) = 2.5^x + 3$;

4) $f(x) = 0.7^{x-1} - 1$.

1) $f(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^x - 2$

Областью значений показательной функции вида $y = a^x$, где $a > 0$ и $a \ne 1$, является интервал $(0; +\infty)$. Это означает, что $a^x$ всегда принимает строго положительные значения.

В данном случае, для выражения $\left(\frac{1}{5}\right)^x$ имеем:$\left(\frac{1}{5}\right)^x > 0$ для любого действительного значения $x$.

Функция $f(x)$ получается путем вычитания 2 из значений функции $y = \left(\frac{1}{5}\right)^x$. Это соответствует сдвигу графика функции $y$ на 2 единицы вниз по оси ординат. Таким образом, вся область значений также сдвигается на 2 вниз.

Если $\left(\frac{1}{5}\right)^x > 0$, то $\left(\frac{1}{5}\right)^x - 2 > 0 - 2$, что равносильно $f(x) > -2$.

Следовательно, область значений функции — это все числа, которые больше -2.

Ответ: $E(f) = (-2; +\infty)$.

2) $f(x) = 6^{x+2} + \frac{1}{4}$

Рассмотрим показательную часть функции $y = 6^{x+2}$. Показатель степени $x+2$ может принимать любые действительные значения. Так как основание степени 6 положительно, значение выражения $6^{x+2}$ всегда будет строго положительным.

$6^{x+2} > 0$ для любого $x$.

Функция $f(x)$ получается прибавлением константы $\frac{1}{4}$ к значениям $6^{x+2}$. Это соответствует сдвигу графика функции $y = 6^{x+2}$ на $\frac{1}{4}$ единицы вверх.

Если $6^{x+2} > 0$, то $6^{x+2} + \frac{1}{4} > 0 + \frac{1}{4}$, что равносильно $f(x) > \frac{1}{4}$.

Таким образом, область значений функции — это все числа, которые больше $\frac{1}{4}$.

Ответ: $E(f) = (\frac{1}{4}; +\infty)$.

3) $f(x) = 2,5 \cdot 5^x + 3$

Сначала рассмотрим выражение $5^x$. Как и для любой показательной функции с положительным основанием, его значения всегда строго положительны: $5^x > 0$.

Далее, умножим это выражение на положительное число 2,5. Знак неравенства при этом не изменится:

$2,5 \cdot 5^x > 2,5 \cdot 0$

$2,5 \cdot 5^x > 0$

Наконец, прибавим 3. Это сдвигает график вверх на 3 единицы.

$2,5 \cdot 5^x + 3 > 0 + 3$

$f(x) > 3$

Следовательно, область значений функции — это все числа, которые больше 3.

Ответ: $E(f) = (3; +\infty)$.

4) $f(x) = 0,7^{x-1} - 1$

Рассмотрим показательное выражение $0,7^{x-1}$. Основание $0,7$ положительно, поэтому значение выражения всегда будет строго положительным.

$0,7^{x-1} > 0$ для любого действительного значения $x$.

Функция $f(x)$ получается вычитанием 1, что соответствует сдвигу графика функции $y = 0,7^{x-1}$ на 1 единицу вниз.

Если $0,7^{x-1} > 0$, то $0,7^{x-1} - 1 > 0 - 1$, что равносильно $f(x) > -1$.

Таким образом, область значений функции — это все числа, которые больше -1.

Ответ: $E(f) = (-1; +\infty)$.

19.4. Какие значения принимает функция $y = 3^x$, если x принимает последовательно значения:

1) 0; 1; 2; 3; 4; ...;

2) -1; -2; -3; -4; ...;

3) $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{2}{3}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{3}{4}$; ... ?

1) Для того чтобы найти значения функции $y = 3^x$, нужно подставить в нее заданные значения $x$.

Последовательность значений $x$: $0; 1; 2; 3; 4; \dots$

Вычисляем соответствующие значения $y$:

Если $x = 0$, то $y = 3^0 = 1$

Если $x = 1$, то $y = 3^1 = 3$

Если $x = 2$, то $y = 3^2 = 9$

Если $x = 3$, то $y = 3^3 = 27$

Если $x = 4$, то $y = 3^4 = 81$

И так далее. Полученная последовательность значений $y$ представляет собой геометрическую прогрессию, где каждый следующий член в 3 раза больше предыдущего.

Ответ: $1; 3; 9; 27; 81; \dots$

2) Последовательность значений $x$: $-1; -2; -3; -4; \dots$

Вычисляем соответствующие значения $y$, используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

Если $x = -1$, то $y = 3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$

Если $x = -2$, то $y = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

Если $x = -3$, то $y = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$

Если $x = -4$, то $y = 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$

И так далее. Полученная последовательность значений $y$ представляет собой геометрическую прогрессию, где каждый следующий член в 3 раза меньше предыдущего (или умножается на $\frac{1}{3}$ ).

Ответ: $\frac{1}{3}; \frac{1}{9}; \frac{1}{27}; \frac{1}{81}; \dots$

3) Последовательность значений $x$: $\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{2}{3}; \frac{1}{4}; \frac{3}{4}; \dots$

Вычисляем соответствующие значения $y$, используя свойство степени $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$:

Если $x = \frac{1}{2}$, то $y = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$

Если $x = \frac{1}{3}$, то $y = 3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3}$

Если $x = \frac{2}{3}$, то $y = 3^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9}$

Если $x = \frac{1}{4}$, то $y = 3^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{3}$

Если $x = \frac{3}{4}$, то $y = 3^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{3^3} = \sqrt[4]{27}$

И так далее.

Ответ: $\sqrt{3}; \sqrt[3]{3}; \sqrt[3]{9}; \sqrt[4]{3}; \sqrt[4]{27}; \dots$