Вопросы, страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Какие свойства показательной функции определяют основание показательной функции?

2. На чем основано утверждение о том, что график любой показательной функции проходит через точку $(0;1)$?

3. Графики каких двух показательных функций будут расположены симметрично относительно оси ординат?

4. Как изменяются значения функции $y = a^x$ при возрастании $x$ во множестве действительных чисел, если: 1) $a > 1$; 2) $0 < a < 1$?

1. Основание $a$ показательной функции $y = a^x$ определяется следующими свойствами: оно должно быть строго положительным числом ($a > 0$) и не должно равняться единице ($a \neq 1$). Условие $a > 0$ необходимо для того, чтобы функция была определена для всех действительных значений показателя $x$ (например, чтобы избежать извлечения корня четной степени из отрицательного числа). Условие $a \neq 1$ вводится для того, чтобы исключить тривиальный случай постоянной функции $y = 1^x = 1$, которая не обладает свойствами показательной функции. Ответ: Основание показательной функции должно быть больше нуля и не равно единице, то есть $a > 0$ и $a \neq 1$.

2. Утверждение о том, что график любой показательной функции $y = a^x$ проходит через точку $(0;1)$, основано на фундаментальном свойстве степеней. По определению, любое отличное от нуля число, возведенное в нулевую степень, равно единице. Так как для показательной функции основание $a$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$, оно всегда отлично от нуля. Поэтому при подстановке $x = 0$ в уравнение функции мы получаем $y = a^0 = 1$. Это означает, что независимо от конкретного значения основания $a$, график функции всегда будет проходить через точку с координатами $(0;1)$. Ответ: Это утверждение основано на свойстве $a^0 = 1$ для любого допустимого основания $a$ показательной функции.

3. Симметрично относительно оси ординат (оси $y$) будут расположены графики двух показательных функций, основания которых являются взаимно обратными числами. Если одна функция задана уравнением $y = a^x$ (где $a > 0, a \neq 1$), то симметричная ей относительно оси ординат функция будет иметь уравнение $y = (1/a)^x$. Это можно показать, используя свойства степеней: $(1/a)^x = (a^{-1})^x = a^{-x}$. Преобразование, при котором аргумент $x$ заменяется на $-x$, как раз и является математической операцией, соответствующей симметричному отражению графика функции относительно оси $y$. Ответ: Графики функций $y = a^x$ и $y = (1/a)^x$.

4. Характер изменения значений функции $y = a^x$ при возрастании аргумента $x$ на множестве действительных чисел целиком зависит от величины ее основания $a$.

1) Если основание $a > 1$, то показательная функция является строго возрастающей. Это означает, что при увеличении значения $x$, значение функции $y$ также увеличивается. Формально, для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $a^{x_2} > a^{x_1}$.

2) Если основание находится в интервале $0 < a < 1$, то показательная функция является строго убывающей. Это означает, что при увеличении значения $x$, значение функции $y$ уменьшается. Формально, для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $a^{x_2} < a^{x_1}$.

Ответ: 1) при $a > 1$ значения функции возрастают; 2) при $0 < a < 1$ значения функции убывают.