Номер 5, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5. Найдите значение корня $\sqrt{4+2\sqrt{5}i}$:

A) $\pm(\sqrt{5}+i)$;

B) $\pm(2\sqrt{5}+i)$;

C) $\pm(\sqrt{5}+2i)$;

D) $\pm(\sqrt{5}-2i)$;

E) $\pm(\sqrt{5}-i)$.

Для нахождения значения корня из комплексного числа $\sqrt{4+2\sqrt{5}i}$ представим результат в виде комплексного числа $x+yi$, где $x$ и $y$ – действительные числа.

$(x+yi)^2 = 4+2\sqrt{5}i$

Раскроем квадрат в левой части уравнения:

$x^2 + 2xyi + (yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$

Приравняем действительные и мнимые части полученного выражения к соответствующим частям числа $4+2\sqrt{5}i$:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 4 \\ 2xy = 2\sqrt{5} \end{cases}$

Из второго уравнения системы выразим $y$ через $x$:

$xy = \sqrt{5}$

$y = \frac{\sqrt{5}}{x}$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$x^2 - \left(\frac{\sqrt{5}}{x}\right)^2 = 4$

$x^2 - \frac{5}{x^2} = 4$

Умножим обе части уравнения на $x^2$ (где $x \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателя:

$x^4 - 5 = 4x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить биквадратное уравнение:

$x^4 - 4x^2 - 5 = 0$

Сделаем замену переменной $t = x^2$. Так как $x$ – действительное число, то $t \ge 0$.

$t^2 - 4t - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Корнями являются $t_1 = 5$ и $t_2 = -1$.

Поскольку $t = x^2 \ge 0$, корень $t_2 = -1$ является посторонним.

Следовательно, $x^2 = 5$, откуда $x = \sqrt{5}$ или $x = -\sqrt{5}$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$:

1. Если $x = \sqrt{5}$, то $y = \frac{\sqrt{5}}{x} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 1$.

Первый корень: $\sqrt{5} + i$.

2. Если $x = -\sqrt{5}$, то $y = \frac{\sqrt{5}}{x} = \frac{\sqrt{5}}{-\sqrt{5}} = -1$.

Второй корень: $-\sqrt{5} - i = -(\sqrt{5} + i)$.

Таким образом, значения корня $\sqrt{4+2\sqrt{5}i}$ равны $\pm(\sqrt{5}+i)$.

Ответ: A) $\pm(\sqrt{5} + i)$.