Номер 19.9, страница 152 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

19.9. Как расположены графики показательных функций относительно друг друга:

1) $y = 9^x$ и $y = 4^x$;

2) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ и $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$?

Рассмотрите случаи: $x > 0, x = 0, x < 0$.

1) $y = 9^x$ и $y = 4^x$

Для того чтобы определить взаимное расположение графиков функций $y = 9^x$ и $y = 4^x$, мы сравним значения этих функций при различных значениях $x$. Обе функции являются показательными с основанием больше единицы, поэтому их графики — возрастающие кривые, проходящие через точку $(0, 1)$.

Случай $x > 0$:

Рассмотрим функцию $f(a) = a^x$ при фиксированном $x > 0$. Эта функция является возрастающей по основанию $a$ при $a > 0$. Поскольку $9 > 4$, то для любого $x > 0$ будет выполняться неравенство $9^x > 4^x$.

Например, при $x = 1$: $9^1 = 9$, $4^1 = 4$, и $9 > 4$.

При $x = 2$: $9^2 = 81$, $4^2 = 16$, и $81 > 16$.

Следовательно, при $x > 0$ график функции $y = 9^x$ расположен выше графика функции $y = 4^x$.

Случай $x = 0$:

Любое число (кроме нуля) в степени ноль равно единице.

$y = 9^0 = 1$

$y = 4^0 = 1$

При $x = 0$ значения функций равны, значит, их графики пересекаются в точке с координатами $(0, 1)$.

Случай $x < 0$:

Пусть $x = -t$, где $t > 0$. Тогда нам нужно сравнить $9^{-t}$ и $4^{-t}$.

$9^{-t} = \frac{1}{9^t}$ и $4^{-t} = \frac{1}{4^t}$.

Поскольку $t > 0$ и $9 > 4$, мы знаем, что $9^t > 4^t$. При делении единицы на бóльшее положительное число получается меньший результат. Следовательно, $\frac{1}{9^t} < \frac{1}{4^t}$.

Это означает, что $9^x < 4^x$ при $x < 0$.

Например, при $x = -1$: $9^{-1} = \frac{1}{9}$, $4^{-1} = \frac{1}{4}$, и $\frac{1}{9} < \frac{1}{4}$.

Следовательно, при $x < 0$ график функции $y = 9^x$ расположен ниже графика функции $y = 4^x$.

Ответ: При $x > 0$ график функции $y = 9^x$ лежит выше графика $y = 4^x$; при $x = 0$ графики пересекаются в точке $(0, 1)$; при $x < 0$ график функции $y = 9^x$ лежит ниже графика $y = 4^x$.

2) $y = (\frac{1}{2})^x$ и $y = (\frac{1}{3})^x$

Аналогично первому пункту, сравним значения функций $y = (\frac{1}{2})^x$ и $y = (\frac{1}{3})^x$ при различных значениях $x$. Обе функции являются показательными с основанием меньше единицы, поэтому их графики — убывающие кривые, проходящие через точку $(0, 1)$.

Случай $x > 0$:

Основания степеней равны $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$. Сравним их: $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$.

При возведении в положительную степень $x > 0$ большее основание даст большее значение: $(\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{3})^x$.

Например, при $x = 1$: $(\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2}$, $(\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$, и $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$.

При $x = 2$: $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$, $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$, и $\frac{1}{4} > \frac{1}{9}$.

Следовательно, при $x > 0$ график функции $y = (\frac{1}{2})^x$ расположен выше графика функции $y = (\frac{1}{3})^x$.

Случай $x = 0$:

$y = (\frac{1}{2})^0 = 1$

$y = (\frac{1}{3})^0 = 1$

При $x = 0$ значения функций равны, и их графики пересекаются в точке с координатами $(0, 1)$.

Случай $x < 0$:

Пусть $x = -t$, где $t > 0$. Нам нужно сравнить $(\frac{1}{2})^{-t}$ и $(\frac{1}{3})^{-t}$.

$(\frac{1}{2})^{-t} = ((\frac{1}{2})^{-1})^t = 2^t$

$(\frac{1}{3})^{-t} = ((\frac{1}{3})^{-1})^t = 3^t$

Поскольку $t > 0$ и $3 > 2$, то $3^t > 2^t$.

Это означает, что $(\frac{1}{3})^x > (\frac{1}{2})^x$ при $x < 0$.

Например, при $x = -1$: $(\frac{1}{2})^{-1} = 2$, $(\frac{1}{3})^{-1} = 3$, и $2 < 3$.

Следовательно, при $x < 0$ график функции $y = (\frac{1}{2})^x$ расположен ниже графика функции $y = (\frac{1}{3})^x$.

Ответ: При $x > 0$ график функции $y = (\frac{1}{2})^x$ лежит выше графика $y = (\frac{1}{3})^x$; при $x = 0$ графики пересекаются в точке $(0, 1)$; при $x < 0$ график функции $y = (\frac{1}{2})^x$ лежит ниже графика $y = (\frac{1}{3})^x$.