Номер 19.13, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

19.13. Сравните $a^x$ при различных значениях $x$ с 1, если:

1) $a > 1$;

2) $0 < a < 1$.

1) a > 1;

Если основание степени $a$ больше единицы ($a > 1$), то показательная функция $y = a^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции. Чтобы сравнить $a^x$ с 1, мы воспользуемся тем, что любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, то есть $a^0 = 1$. Таким образом, задача сводится к сравнению показателя степени $x$ с нулем.

Когда показатель степени $x$ положителен ($x > 0$), то в силу возрастания функции имеем $a^x > a^0$, что означает $a^x > 1$.

Когда показатель степени $x$ отрицателен ($x < 0$), то, аналогично, из-за возрастания функции имеем $a^x < a^0$, что означает $a^x < 1$.

Когда показатель степени $x$ равен нулю ($x = 0$), получаем $a^x = a^0 = 1$.

Ответ: если $a > 1$, то при $x > 0$ имеем $a^x > 1$, при $x < 0$ имеем $a^x < 1$, а при $x = 0$ имеем $a^x = 1$.

2) 0 < a < 1.

Если основание степени $a$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$), то показательная функция $y = a^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции. Сравнение $a^x$ с 1 мы снова проведем через сравнение показателя $x$ с 0, используя свойство $a^0 = 1$.

Когда показатель степени $x$ положителен ($x > 0$), то в силу убывания функции имеем $a^x < a^0$, что означает $a^x < 1$.

Когда показатель степени $x$ отрицателен ($x < 0$), то, наоборот, из-за убывания функции имеем $a^x > a^0$, что означает $a^x > 1$.

Когда показатель степени $x$ равен нулю ($x = 0$), значение функции равно $a^x = a^0 = 1$.

Ответ: если $0 < a < 1$, то при $x > 0$ имеем $a^x < 1$, при $x < 0$ имеем $a^x > 1$, а при $x = 0$ имеем $a^x = 1$.