Номер 19.18, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

19.18. Дана геометрическая прогрессия: 1; 3; 9; 27; 81; ... .Значениями какой показательной функции являются члены этой прогрессии и для каких значений аргумента?

Данная последовательность $1; 3; 9; 27; 81; \dots$ является геометрической прогрессией. Обозначим её члены как $(b_n)$. Первый член прогрессии $b_1 = 1$.

Чтобы найти знаменатель прогрессии $q$, разделим второй член на первый:$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{1} = 3$.Для проверки можно разделить третий член на второй: $q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{9}{3} = 3$. Знаменатель прогрессии постоянен и равен 3.

Общая формула для $n$-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Подставив известные значения $b_1=1$ и $q=3$, получим формулу для данной прогрессии:$b_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$.Здесь $n$ — это номер члена прогрессии, который является натуральным числом, то есть $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$.

Показательная функция имеет общий вид $y = a^x$, где $a$ — положительное число, не равное единице. Нам нужно найти такую функцию и такие значения её аргумента $x$, при которых значения функции будут совпадать с членами нашей прогрессии.

Сравнивая формулу члена прогрессии $b_n = 3^{n-1}$ с общей формой показательной функции $y = a^x$, мы видим, что в качестве основания степени естественно выбрать $a=3$. Таким образом, рассмотрим показательную функцию $y = 3^x$.

Теперь определим, при каких значениях аргумента $x$ значения этой функции будут равны членам прогрессии. Для этого приравняем значение функции к $n$-ому члену прогрессии:$y(x) = b_n$$3^x = 3^{n-1}$

Из равенства степеней с одинаковым основанием следует равенство их показателей:$x = n-1$.

Поскольку номер члена $n$ принимает значения из множества натуральных чисел ($1, 2, 3, \dots$), аргумент $x$ будет принимать соответствующие значения:

• при $n=1$, $x = 1-1 = 0$; значение функции $y(0)=3^0=1$ (первый член прогрессии).
• при $n=2$, $x = 2-1 = 1$; значение функции $y(1)=3^1=3$ (второй член прогрессии).
• при $n=3$, $x = 3-1 = 2$; значение функции $y(2)=3^2=9$ (третий член прогрессии).
• при $n=4$, $x = 4-1 = 3$; значение функции $y(3)=3^3=27$ (четвертый член прогрессии).

И так далее. Таким образом, аргумент $x$ принимает значения из множества целых неотрицательных чисел: $0, 1, 2, 3, \dots$.

Ответ: Члены данной геометрической прогрессии являются значениями показательной функции $y=3^x$ для аргументов, принимающих значения целых неотрицательных чисел ($x = 0, 1, 2, 3, \dots$).