Номер 20.2, страница 158 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Вычислите (20.2–20.3):

20.2. 1) $log_2 16$;

20.2. 2) $log_{0.2} 0.04$;

20.2. 3) $log_3 \frac{1}{81}$;

20.2. 4) $log_{\frac{1}{3}} 9$;

20.2. 5) $log_{23} 1$;

20.2. 6) $log_5 \frac{1}{125}$.

1) Чтобы вычислить $log_2 16$, необходимо найти показатель степени $x$, в которую нужно возвести основание $2$, чтобы получить число $16$. Это можно записать в виде уравнения: $2^x = 16$. Так как $16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$, мы можем переписать уравнение как $2^x = 2^4$. Приравнивая показатели степеней, получаем $x = 4$.

Ответ: 4

2) Необходимо вычислить $log_{0{,}2} 0{,}04$. Пусть искомое значение равно $x$, то есть $log_{0{,}2} 0{,}04 = x$. По определению логарифма, это означает, что $(0{,}2)^x = 0{,}04$. Заметим, что $0{,}04$ является квадратом $0{,}2$, так как $0{,}2^2 = 0{,}2 \times 0{,}2 = 0{,}04$. Таким образом, наше уравнение принимает вид $(0{,}2)^x = (0{,}2)^2$. Отсюда следует, что $x=2$.

Ответ: 2

3) Вычислим $log_3 \frac{1}{81}$. Обозначим это значение через $x$: $log_3 \frac{1}{81} = x$. Согласно определению логарифма, $3^x = \frac{1}{81}$. Нам нужно представить правую часть уравнения как степень с основанием $3$. Мы знаем, что $81 = 3^4$. Используя свойство степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$. Уравнение становится $3^x = 3^{-4}$. Приравнивая показатели, находим, что $x = -4$.

Ответ: -4

4) Вычислим $log_{\frac{1}{3}} 9$. Пусть $log_{\frac{1}{3}} 9 = x$. По определению логарифма, это равносильно уравнению $(\frac{1}{3})^x = 9$. Чтобы решить это уравнение, приведем обе его части к одному основанию, например, к $3$. Основание логарифма $\frac{1}{3}$ можно записать как $3^{-1}$. Число $9$ можно записать как $3^2$. Подставим эти выражения в уравнение: $(3^{-1})^x = 3^2$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$, левая часть становится $3^{-x}$. Теперь уравнение выглядит так: $3^{-x} = 3^2$. Приравнивая показатели степеней, получаем $-x = 2$, откуда $x = -2$.

Ответ: -2

5) Необходимо вычислить $log_{23} 1$. По одному из основных свойств логарифмов, логарифм единицы по любому допустимому основанию $a$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) всегда равен нулю. Это следует из определения: если $log_a 1 = x$, то $a^x = 1$. Любое ненулевое число в степени $0$ равно $1$, поэтому $x=0$. Таким образом, $log_{23} 1 = 0$.

Ответ: 0

6) Вычислим $log_5 \frac{1}{125}$. Пусть $log_5 \frac{1}{125} = x$. По определению логарифма, $5^x = \frac{1}{125}$. Представим $125$ как степень числа $5$. Поскольку $125 = 5 \times 5 \times 5 = 5^3$, мы можем записать $\frac{1}{125}$ как $\frac{1}{5^3}$. Используя свойство отрицательной степени, получаем $\frac{1}{5^3} = 5^{-3}$. Наше уравнение принимает вид $5^x = 5^{-3}$. Отсюда следует, что $x = -3$.

Ответ: -3