Номер 20.8, страница 159 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

20.8. Вычислите натуральные логарифмы:

1) $lne$;

2) $ln e^{\frac{1}{3}};

3) $ln\sqrt{e};

4) $ln(lg10)$.

1) Натуральный логарифм, обозначаемый как $ln$, является логарифмом по основанию $e$. Это означает, что $ln(x) = \log_e(x)$. Согласно основному определению логарифмов, логарифм числа по тому же основанию равен единице, то есть $\log_a(a) = 1$. Применяя это правило к натуральному логарифму, получаем:

$ln(e) = \log_e(e) = 1$.

Ответ: 1

2) Для вычисления $ln(\frac{1}{e^3})$ сначала преобразуем выражение под знаком логарифма. Используем свойство степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$.

Таким образом, $\frac{1}{e^3} = e^{-3}$.

Теперь исходное выражение принимает вид $ln(e^{-3})$.

Далее используем свойство натурального логарифма $ln(e^x) = x$.

В нашем случае $x = -3$, поэтому:

$ln(e^{-3}) = -3$.

Ответ: -3

3) Чтобы вычислить $ln(\sqrt{e})$, представим квадратный корень в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt{e} = e^{\frac{1}{2}}$.

Подставим это в наш логарифм: $ln(\sqrt{e}) = ln(e^{\frac{1}{2}})$.

Используя то же свойство, что и в предыдущем пункте, $ln(e^x) = x$, получаем:

$ln(e^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

4) Данное выражение $ln(lg(10))$ является вложенным логарифмом. Вычисление следует начинать изнутри.

Внутренний логарифм — это $lg(10)$. Десятичный логарифм, обозначаемый как $lg$, — это логарифм по основанию 10, то есть $lg(x) = \log_{10}(x)$.

Следовательно, $lg(10) = \log_{10}(10) = 1$.

Теперь подставим результат во внешний логарифм: $ln(lg(10)) = ln(1)$.

Логарифм единицы по любому основанию равен нулю, так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице ($e^0=1$).

Таким образом, $ln(1) = 0$.

Ответ: 0