Страница 159 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

20.3. 1) $ \log_5 22 - \log_5 11 - \log_5 10; $

2) $ \log_2 7 - \log_2 63 + \log_2 36; $

3) $ \log_3 8 - \log_3 4 + \log_3 \frac{9}{2}; $

4) $ \log_7 64 - \log_7 256 + \log_7 28. $

1) Для решения данного выражения воспользуемся свойствами логарифмов, в частности, свойством разности логарифмов с одинаковым основанием: $log_a{b} - log_a{c} = log_a{(\frac{b}{c})}$.

Сначала сгруппируем вычитаемые логарифмы: $log_5{22} - (log_5{11} + log_5{10})$.

Используем свойство суммы логарифмов $log_a{b} + log_a{c} = log_a{(b \cdot c)}$:

$log_5{11} + log_5{10} = log_5{(11 \cdot 10)} = log_5{110}$.

Теперь вернемся к исходному выражению:

$log_5{22} - log_5{110} = log_5{(\frac{22}{110})}$.

Сократим дробь: $\frac{22}{110} = \frac{1}{5}$.

Получаем $log_5{(\frac{1}{5})}$.

Так как $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, то $log_5{(5^{-1})} = -1 \cdot log_5{5} = -1$.

Ответ: -1

2) Используем свойства сложения и вычитания логарифмов с одинаковым основанием, чтобы объединить все члены в один логарифм:

$log_2{7} - log_2{63} + log_2{36} = log_2{(\frac{7 \cdot 36}{63})}$.

Теперь упростим выражение под знаком логарифма:

$\frac{7 \cdot 36}{63} = \frac{7 \cdot 36}{7 \cdot 9} = \frac{36}{9} = 4$.

Таким образом, исходное выражение равно $log_2{4}$.

Поскольку $4 = 2^2$, то $log_2{4} = log_2{(2^2)} = 2 \cdot log_2{2} = 2$.

Ответ: 2

3) Аналогично предыдущим примерам, применим свойства логарифмов для преобразования выражения:

$log_3{8} - log_3{4} + log_3{\frac{9}{2}} = log_3{(\frac{8 \cdot \frac{9}{2}}{4})}$.

Вычислим значение выражения в скобках:

$\frac{8 \cdot \frac{9}{2}}{4} = \frac{4 \cdot 9}{4} = 9$.

Получаем $log_3{9}$.

Так как $9 = 3^2$, то $log_3{9} = log_3{(3^2)} = 2 \cdot log_3{3} = 2$.

Ответ: 2

4) Объединим логарифмы с основанием 7, используя те же свойства:

$log_7{64} - log_7{256} + log_7{28} = log_7{(\frac{64 \cdot 28}{256})}$.

Упростим дробь под знаком логарифма. Сначала сократим 64 и 256:

$\frac{64}{256} = \frac{1}{4}$.

Теперь выражение примет вид: $log_7{(\frac{1}{4} \cdot 28)} = log_7{(\frac{28}{4})} = log_7{7}$.

Логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен единице: $log_7{7} = 1$.

Ответ: 1

20.4. Напишите следующие показательные равенства в виде логарифмических:

1) $3^6 = 729$;

2) $4^5 = 1024$;

3) $10^4 = 10 000$;

4) $(\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$;

5) $(\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$;

6) $10^{-3} = 0,001$.

Чтобы преобразовать показательное равенство вида $a^c = b$ в логарифмическое, используется определение логарифма. Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ называется показатель степени $c$, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. Это записывается как $\log_a b = c$, где $a > 0$, $a \neq 1$ и $b > 0$.

1) Показательное равенство: $3^5 = 729$.

В этом равенстве основание $a = 3$, показатель степени $c = 5$, а число $b = 729$.

По определению логарифма, данное равенство можно записать в виде: $\log_3 729 = 5$.

Ответ: $\log_3 729 = 5$.

2) Показательное равенство: $4^5 = 1024$.

Здесь основание $a = 4$, показатель степени $c = 5$, и число $b = 1024$.

Записываем в логарифмическом виде: $\log_4 1024 = 5$.

Ответ: $\log_4 1024 = 5$.

3) Показательное равенство: $10^4 = 10 000$.

Основание $a = 10$, показатель степени $c = 4$, и число $b = 10 000$.

Преобразуем в логарифмическое равенство: $\log_{10} 10000 = 4$.

Ответ: $\log_{10} 10000 = 4$.

4) Показательное равенство: $(\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$.

Основание $a = \frac{1}{2}$, показатель степени $c = 5$, и число $b = \frac{1}{32}$.

Записываем в логарифмическом виде: $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{32} = 5$.

Ответ: $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{32} = 5$.

5) Показательное равенство: $(\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$.

Основание $a = \frac{2}{3}$, показатель степени $c = 3$, и число $b = \frac{8}{27}$.

Преобразуем в логарифмическое равенство: $\log_{\frac{2}{3}} \frac{8}{27} = 3$.

Ответ: $\log_{\frac{2}{3}} \frac{8}{27} = 3$.

6) Показательное равенство: $10^{-3} = 0,001$.

Основание $a = 10$, показатель степени $c = -3$, и число $b = 0,001$.

Записываем в логарифмическом виде: $\log_{10} 0,001 = -3$.

Ответ: $\log_{10} 0,001 = -3$.

20.5. Напишите следующие логарифмические равенства в виде показательных:

1) $log_2 64 = 6$;

2) $log_3 81 = 4$;

3) $log_5 125 = 3$;

4) $lg 100000 = 5$;

5) $lg 0,01 = -2$;

6) $log_{3/4} \frac{27}{64} = 3$.

1)Логарифмическое равенство $\log_a b = c$ по определению эквивалентно показательному равенству $a^c = b$. В данном случае основание логарифма $a=2$, число под логарифмом $b=64$ и значение логарифма $c=6$.Подставив эти значения, получаем показательное равенство.

Ответ: $2^6 = 64$.

2)Используя определение логарифма $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$, для равенства $\log_3 81 = 4$ имеем: основание $a=3$, число $b=81$ и степень $c=4$.Таким образом, получаем показательное равенство.

Ответ: $3^4 = 81$.

3)Согласно определению логарифма, равенство $\log_5 125 = 3$ можно переписать в показательной форме. Здесь основание $a=5$, число $b=125$ и степень $c=3$.Показательное равенство имеет вид $a^c = b$.

Ответ: $5^3 = 125$.

4)Запись $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Таким образом, равенство $\lg 100000 = 5$ эквивалентно $\log_{10} 100000 = 5$.Применяя определение логарифма $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$, где $a=10$, $b=100000$ и $c=5$, получаем.

Ответ: $10^5 = 100000$.

5)Десятичный логарифм $\lg 0,01 = -2$ означает, что основание равно 10, то есть $\log_{10} 0,01 = -2$.По определению логарифма, это равенство эквивалентно показательному, где основание $a=10$, число $b=0,01$ и степень $c=-2$.

Ответ: $10^{-2} = 0,01$.

6)В данном равенстве $\log_{\frac{3}{4}} \frac{27}{64} = 3$ основание логарифма $a=\frac{3}{4}$, число под логарифмом $b=\frac{27}{64}$ и значение логарифма $c=3$.Преобразуем логарифмическое равенство в показательное по формуле $a^c = b$.

Ответ: $(\frac{3}{4})^3 = \frac{27}{64}$.

1) 100; 2) 0,001; 3) $10^n$;
4) $\sqrt{10}$; 5) $\sqrt[3]{10^2}$; 6) $\frac{1}{10\sqrt{10}}$?

1) Логарифм по основанию 10 (десятичный логарифм, обозначается $\lg$) — это показатель степени, в которую нужно возвести число 10, чтобы получить исходное число. Необходимо найти $\lg(100)$.

Для этого представим число 100 в виде степени с основанием 10: $100 = 10^2$.

Исходя из определения логарифма, получаем: $\lg(100) = \lg(10^2) = 2$.

Ответ: 2

2) Необходимо найти десятичный логарифм числа 0,001, то есть $\lg(0,001)$.

Представим число 0,001 в виде степени с основанием 10. Запишем десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,001 = \frac{1}{1000}$.

Знаменатель $1000$ равен $10^3$. Тогда дробь можно записать как $\frac{1}{10^3}$.

По свойству степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), получаем: $\frac{1}{10^3} = 10^{-3}$.

Следовательно, $\lg(0,001) = \lg(10^{-3}) = -3$.

Ответ: -3

3) Необходимо найти десятичный логарифм числа $10^n$, то есть $\lg(10^n)$.

По основному свойству логарифма $\log_b(b^x) = x$. В данном случае основание $b=10$, а показатель степени равен $n$.

Таким образом, $\lg(10^n) = n$.

Ответ: $n$

4) Необходимо найти десятичный логарифм числа $\sqrt{10}$, то есть $\lg(\sqrt{10})$.

Представим корень в виде степени с дробным показателем. Квадратный корень из числа равен этому числу в степени $\frac{1}{2}$.

То есть, $\sqrt{10} = 10^{1/2}$.

Тогда, $\lg(\sqrt{10}) = \lg(10^{1/2}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

5) Необходимо найти десятичный логарифм числа $\sqrt[3]{10^2}$, то есть $\lg(\sqrt[3]{10^2})$.

Воспользуемся свойством степени для преобразования корня: $\sqrt[m]{a^n} = a^{n/m}$.

Применив это свойство, получаем: $\sqrt[3]{10^2} = 10^{2/3}$.

Следовательно, $\lg(\sqrt[3]{10^2}) = \lg(10^{2/3}) = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

6) Необходимо найти десятичный логарифм числа $\frac{1}{10\sqrt{10}}$, то есть $\lg\left(\frac{1}{10\sqrt{10}}\right)$.

Сначала упростим выражение под знаком логарифма. Преобразуем знаменатель $10\sqrt{10}$.

Так как $10 = 10^1$ и $\sqrt{10} = 10^{1/2}$, то знаменатель равен $10^1 \cdot 10^{1/2}$.

По свойству умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), получаем: $10^1 \cdot 10^{1/2} = 10^{1 + 1/2} = 10^{3/2}$.

Теперь всё выражение можно записать как $\frac{1}{10^{3/2}}$.

Используя свойство степени с отрицательным показателем, получаем: $\frac{1}{10^{3/2}} = 10^{-3/2}$.

Таким образом, искомый логарифм равен $\lg\left(\frac{1}{10\sqrt{10}}\right) = \lg(10^{-3/2}) = -\frac{3}{2}$.

Ответ: $-\frac{3}{2}$

20.7. Вычислите десятичные логарифмы:

1) $ \text{lg}10000; $ 2) $ \text{lg}0,1; $ 3) $ \text{lg}0,0001; $ 4) $ \text{lg}\sqrt{10}. $

1) Десятичный логарифм (обозначается как $lg$) — это логарифм по основанию 10. По определению логарифма, $lg(10000) = x$ означает, что $10^x = 10000$. Чтобы найти $x$, представим число 10000 в виде степени числа 10. Поскольку $10000 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4$, то мы ищем $lg(10^4)$. Используя основное свойство логарифма $log_a(a^b) = b$, получаем, что $lg(10^4) = 4$.

Ответ: 4.

2) Нам нужно вычислить $lg(0,1)$. Для этого найдём такое число $x$, что $10^x = 0,1$. Представим десятичную дробь 0,1 в виде степени числа 10. Мы знаем, что $0,1 = \frac{1}{10}$. Используя свойство степеней с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $\frac{1}{10} = 10^{-1}$. Таким образом, $lg(0,1) = lg(10^{-1})$. По свойству логарифма, $lg(10^{-1}) = -1$.

Ответ: -1.

3) Вычислим $lg(0,0001)$. Это эквивалентно нахождению такого показателя степени $x$, что $10^x = 0,0001$. Представим число 0,0001 в виде степени 10. $0,0001 = \frac{1}{10000}$. Так как $10000 = 10^4$, то $\frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}$. Следовательно, $lg(0,0001) = lg(10^{-4})$. Применяя свойство логарифма $log_a(a^b) = b$, находим, что $lg(10^{-4}) = -4$.

Ответ: -4.

4) Необходимо вычислить $lg(\sqrt{10})$. Найдём такое число $x$, для которого выполняется равенство $10^x = \sqrt{10}$. Представим квадратный корень в виде степени с рациональным показателем. По определению, $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$, поэтому $\sqrt{10} = 10^{\frac{1}{2}}$. Тогда $lg(\sqrt{10}) = lg(10^{\frac{1}{2}})$. Используя свойство логарифма $log_a(a^b) = b$, получаем $lg(10^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

20.8. Вычислите натуральные логарифмы:

1) $lne$;

2) $ln e^{\frac{1}{3}};

3) $ln\sqrt{e};

4) $ln(lg10)$.

1) Натуральный логарифм, обозначаемый как $ln$, является логарифмом по основанию $e$. Это означает, что $ln(x) = \log_e(x)$. Согласно основному определению логарифмов, логарифм числа по тому же основанию равен единице, то есть $\log_a(a) = 1$. Применяя это правило к натуральному логарифму, получаем:

$ln(e) = \log_e(e) = 1$.

Ответ: 1

2) Для вычисления $ln(\frac{1}{e^3})$ сначала преобразуем выражение под знаком логарифма. Используем свойство степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$.

Таким образом, $\frac{1}{e^3} = e^{-3}$.

Теперь исходное выражение принимает вид $ln(e^{-3})$.

Далее используем свойство натурального логарифма $ln(e^x) = x$.

В нашем случае $x = -3$, поэтому:

$ln(e^{-3}) = -3$.

Ответ: -3

3) Чтобы вычислить $ln(\sqrt{e})$, представим квадратный корень в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt{e} = e^{\frac{1}{2}}$.

Подставим это в наш логарифм: $ln(\sqrt{e}) = ln(e^{\frac{1}{2}})$.

Используя то же свойство, что и в предыдущем пункте, $ln(e^x) = x$, получаем:

$ln(e^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

4) Данное выражение $ln(lg(10))$ является вложенным логарифмом. Вычисление следует начинать изнутри.

Внутренний логарифм — это $lg(10)$. Десятичный логарифм, обозначаемый как $lg$, — это логарифм по основанию 10, то есть $lg(x) = \log_{10}(x)$.

Следовательно, $lg(10) = \log_{10}(10) = 1$.

Теперь подставим результат во внешний логарифм: $ln(lg(10)) = ln(1)$.

Логарифм единицы по любому основанию равен нулю, так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице ($e^0=1$).

Таким образом, $ln(1) = 0$.

Ответ: 0

20.9. 1) Известно, что $lg5 \approx 0,699$. Найдите: $lg\frac{1}{5}$; $lg0,05$; $-lg0,005$;

2) Известно, что $lg29 \approx 1,462$. Найдите: $lg29000$; $lg2,9$; $lg0,29$.

1)

Используя данное значение $ \lg{5} \approx 0,699 $ и свойства десятичного логарифма (логарифма по основанию 10), найдем требуемые величины.

$ \lg{\frac{1}{5}} $

Применим свойство логарифма степени $ \lg{a^p} = p \cdot \lg{a} $. Поскольку $ \frac{1}{5} = 5^{-1} $, получаем:

$ \lg{\frac{1}{5}} = \lg{5^{-1}} = -1 \cdot \lg{5} \approx -1 \cdot 0,699 = -0,699 $.

Ответ: $ \approx -0,699 $.

$ \lg{0,05} $

Представим $ 0,05 $ в виде дроби $ \frac{5}{100} $ и применим свойство логарифма частного $ \lg{\frac{a}{b}} = \lg{a} - \lg{b} $:

$ \lg{0,05} = \lg{\frac{5}{100}} = \lg{5} - \lg{100} $.

Зная, что $ \lg{100} = \lg{10^2} = 2 $, вычисляем:

$ \lg{0,05} \approx 0,699 - 2 = -1,301 $.

Ответ: $ \approx -1,301 $.

$ -\lg{0,005} $

Сначала вычислим $ \lg{0,005} $. Представим $ 0,005 $ в виде дроби $ \frac{5}{1000} $:

$ \lg{0,005} = \lg{\frac{5}{1000}} = \lg{5} - \lg{1000} $.

Зная, что $ \lg{1000} = \lg{10^3} = 3 $, вычисляем:

$ \lg{0,005} \approx 0,699 - 3 = -2,301 $.

Теперь найдем искомое значение, поменяв знак:

$ -\lg{0,005} \approx -(-2,301) = 2,301 $.

Ответ: $ \approx 2,301 $.

2)

Используя данное значение $ \lg{29} \approx 1,462 $ и свойства десятичного логарифма, найдем требуемые величины.

$ \lg{29000} $

Представим $ 29000 $ в виде произведения $ 29 \cdot 1000 $ и применим свойство логарифма произведения $ \lg{(a \cdot b)} = \lg{a} + \lg{b} $:

$ \lg{29000} = \lg{(29 \cdot 1000)} = \lg{29} + \lg{1000} $.

Зная, что $ \lg{1000} = 3 $, вычисляем:

$ \lg{29000} \approx 1,462 + 3 = 4,462 $.

Ответ: $ \approx 4,462 $.

$ \lg{2,9} $

Представим $ 2,9 $ в виде дроби $ \frac{29}{10} $ и применим свойство логарифма частного:

$ \lg{2,9} = \lg{\frac{29}{10}} = \lg{29} - \lg{10} $.

Зная, что $ \lg{10} = 1 $, вычисляем:

$ \lg{2,9} \approx 1,462 - 1 = 0,462 $.

Ответ: $ \approx 0,462 $.

$ \lg{0,29} $

Представим $ 0,29 $ в виде дроби $ \frac{29}{100} $ и применим свойство логарифма частного:

$ \lg{0,29} = \lg{\frac{29}{100}} = \lg{29} - \lg{100} $.

Зная, что $ \lg{100} = 2 $, вычисляем:

$ \lg{0,29} \approx 1,462 - 2 = -0,538 $.

Ответ: $ \approx -0,538 $.

20.10. Вычислите:

1) $\log_{\frac{1}{5}} 9 + 2\log_{\frac{1}{5}} \frac{5}{3}$;

2) $\log_3 8 + 3\log_3 \frac{9}{2}$;

3) $\log_7 196 - 2\log_7 2$;

4) $\log_2 \sqrt{3} + \frac{1}{2}\log_2 \frac{4}{3}$.

1) В выражении $\log_{\frac{3}{5}} 9 + 2\log_{\frac{3}{5}} \frac{5}{3}$, представленном на изображении, вероятно, допущена опечатка. При решении этого выражения в исходном виде получается значение $\log_{\frac{3}{5}} 25$, которое не упрощается до рационального числа. Учитывая, что остальные задания имеют целочисленные ответы, наиболее вероятной является опечатка в основании логарифма, которое должно быть $\frac{1}{5}$. Решим исправленный вариант: $\log_{\frac{1}{5}} 9 + 2\log_{\frac{1}{5}} \frac{5}{3}$.

Сначала, используя свойство $n\log_a b = \log_a b^n$, преобразуем второе слагаемое:

$2\log_{\frac{1}{5}} \frac{5}{3} = \log_{\frac{1}{5}} \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \log_{\frac{1}{5}} \frac{25}{9}$

Теперь подставим полученное значение обратно в выражение и используем свойство $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$:

$\log_{\frac{1}{5}} 9 + \log_{\frac{1}{5}} \frac{25}{9} = \log_{\frac{1}{5}} \left(9 \cdot \frac{25}{9}\right) = \log_{\frac{1}{5}} 25$

Для вычисления значения найдём, в какую степень нужно возвести основание $\frac{1}{5}$, чтобы получить $25$.

Так как $25 = 5^2$ и $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, то $25 = (5^{-1})^{-2} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-2}$.

Следовательно, $\log_{\frac{1}{5}} 25 = -2$.

Ответ: -2

2) Для вычисления выражения $\log_3 8 + 3\log_3 \frac{9}{2}$ воспользуемся свойствами логарифмов.

Применим свойство $n\log_a b = \log_a b^n$ ко второму слагаемому:

$3\log_3 \frac{9}{2} = \log_3 \left(\frac{9}{2}\right)^3 = \log_3 \frac{729}{8}$

Теперь используем свойство суммы логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$:

$\log_3 8 + \log_3 \frac{729}{8} = \log_3 \left(8 \cdot \frac{729}{8}\right) = \log_3 729$

Так как $3^6 = 729$, то значение логарифма равно 6.

$\log_3 729 = 6$

Ответ: 6

3) Для вычисления выражения $\log_7 196 - 2\log_7 2$ воспользуемся свойствами логарифмов.

Применим свойство $n\log_a b = \log_a b^n$ к вычитаемому:

$2\log_7 2 = \log_7 2^2 = \log_7 4$

Теперь используем свойство разности логарифмов $\log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)$:

$\log_7 196 - \log_7 4 = \log_7 \left(\frac{196}{4}\right) = \log_7 49$

Так как $7^2 = 49$, то значение логарифма равно 2.

$\log_7 49 = 2$

Ответ: 2

4) Для вычисления выражения $\log_2 \sqrt{3} + \frac{1}{2}\log_2 \frac{4}{3}$ воспользуемся свойствами логарифмов.

Применим свойство $n\log_a b = \log_a b^n$ ко второму слагаемому:

$\frac{1}{2}\log_2 \frac{4}{3} = \log_2 \left(\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{2}}\right) = \log_2 \sqrt{\frac{4}{3}}$

Теперь используем свойство суммы логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$:

$\log_2 \sqrt{3} + \log_2 \sqrt{\frac{4}{3}} = \log_2 \left(\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{4}{3}}\right) = \log_2 \sqrt{3 \cdot \frac{4}{3}} = \log_2 \sqrt{4} = \log_2 2$

Так как $\log_a a = 1$, то $\log_2 2 = 1$.

Ответ: 1

20.11. Прологарифмируйте следующие выражения:

1) $lg(a^2 b^3)$;

2) $lg(5a^2 x^2)$;

3) $lg((mn)^3)$;

4) $lg\sqrt[3]{7a^3b}$;

5) $lg(4\sqrt[5]{2ab^3})$;

6) $lg(7a^8b\sqrt[8]{c}).$

1) Для логарифмирования выражения $\lg(a^2 b^3)$ используем свойство логарифма произведения $\lg(xy) = \lg x + \lg y$ и свойство логарифма степени $\lg(x^p) = p \lg x$.

Сначала применяем свойство логарифма произведения:

$\lg(a^2 b^3) = \lg(a^2) + \lg(b^3)$

Затем применяем свойство логарифма степени:

$\lg(a^2) + \lg(b^3) = 2 \lg a + 3 \lg b$

Ответ: $2 \lg a + 3 \lg b$

2) Применяем свойство логарифма произведения $\lg(xyz) = \lg x + \lg y + \lg z$ и свойство логарифма степени $\lg(x^p) = p \lg x$.

$\lg(5a^2 x^{-2}) = \lg 5 + \lg(a^2) + \lg(x^{-2})$

$\lg 5 + 2 \lg a + (-2) \lg x = \lg 5 + 2 \lg a - 2 \lg x$

Ответ: $\lg 5 + 2 \lg a - 2 \lg x$

3) Сначала применяем свойство логарифма степени $\lg(x^p) = p \lg x$, а затем свойство логарифма произведения $\lg(xy) = \lg x + \lg y$.

$\lg((mn)^3) = 3 \lg(mn)$

$3(\lg m + \lg n) = 3 \lg m + 3 \lg n$

Ответ: $3 \lg m + 3 \lg n$

4) Представим корень как степень $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$ и воспользуемся свойствами логарифма. Кубический корень эквивалентен возведению в степень $\frac{1}{3}$.

$\lg \sqrt[3]{7a^8b} = \lg((7a^8b)^{1/3})$

Применяем свойство логарифма степени:

$\frac{1}{3} \lg(7a^8b)$

Затем применяем свойство логарифма произведения:

$\frac{1}{3}(\lg 7 + \lg(a^8) + \lg b) = \frac{1}{3}(\lg 7 + 8 \lg a + \lg b)$

Раскрываем скобки:

$\frac{1}{3} \lg 7 + \frac{8}{3} \lg a + \frac{1}{3} \lg b$

Ответ: $\frac{1}{3} \lg 7 + \frac{8}{3} \lg a + \frac{1}{3} \lg b$

5) Применяем свойство логарифма произведения. Затем представляем корень как степень и снова используем свойства логарифма.

$\lg(4\sqrt[5]{2ab^3}) = \lg 4 + \lg(\sqrt[5]{2ab^3}) = \lg(2^2) + \lg((2ab^3)^{1/5})$

Применяем свойство логарифма степени:

$2 \lg 2 + \frac{1}{5} \lg(2ab^3)$

Применяем свойство логарифма произведения:

$2 \lg 2 + \frac{1}{5}(\lg 2 + \lg a + \lg(b^3)) = 2 \lg 2 + \frac{1}{5}(\lg 2 + \lg a + 3 \lg b)$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$2 \lg 2 + \frac{1}{5} \lg 2 + \frac{1}{5} \lg a + \frac{3}{5} \lg b = (2 + \frac{1}{5})\lg 2 + \frac{1}{5} \lg a + \frac{3}{5} \lg b = \frac{11}{5} \lg 2 + \frac{1}{5} \lg a + \frac{3}{5} \lg b$

Ответ: $\frac{11}{5} \lg 2 + \frac{1}{5} \lg a + \frac{3}{5} \lg b$

6) Применяем свойство логарифма произведения. Затем представляем корень как степень и используем свойство логарифма степени.

$\lg(7a^8b^8\sqrt[8]{c}) = \lg 7 + \lg(a^8) + \lg(b^8) + \lg(\sqrt[8]{c})$

Представляем корень в виде степени:

$\lg 7 + \lg(a^8) + \lg(b^8) + \lg(c^{1/8})$

Применяем свойство логарифма степени $\lg(x^p) = p \lg x$ ко всем слагаемым:

$\lg 7 + 8 \lg a + 8 \lg b + \frac{1}{8} \lg c$

Ответ: $\lg 7 + 8 \lg a + 8 \lg b + \frac{1}{8} \lg c$