Страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Что общего и каковы различия в свойствах логарифмической и показательной функций?

2. С помощью какого вида движения (геометрического преобразования) можно получить график логарифмической функции ($y = \log_a x$) из графика показательной функции ($y = a^x$)?

3. Через какую точку проходят графики всех логарифмических функций? Ответ обоснуйте.

1. Показательная функция ($y=a^x$) и логарифмическая функция ($y=\log_a x$) являются взаимно обратными, что определяет их основные сходства и различия. У обеих функций основание $a$ должно удовлетворять условиям $a > 0$ и $a \neq 1$.

Общие свойства:

- Монотонность: Обе функции являются строго монотонными на всей своей области определения. Если основание $a > 1$, обе функции возрастают. Если $0 < a < 1$, обе функции убывают.

- Непрерывность: Обе функции непрерывны на своей области определения.

- Отсутствие экстремумов: Обе функции не имеют точек максимума или минимума.

Различия:

- Область определения ($D(y)$):

Для показательной функции $y=a^x$: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Для логарифмической функции $y=\log_a x$: $D(y) = (0; +\infty)$.

- Область значений ($E(y)$):

Для показательной функции $y=a^x$: $E(y) = (0; +\infty)$.

Для логарифмической функции $y=\log_a x$: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Точки пересечения с осями и асимптоты:

График показательной функции $y=a^x$ всегда проходит через точку $(0; 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось Ox).

График логарифмической функции $y=\log_a x$ всегда проходит через точку $(1; 0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$ (ось Oy).

Ответ: Общими свойствами являются монотонность и непрерывность на области определения, а также одинаковые требования к основанию $a$. Различия заключаются в области определения и области значений (они "меняются местами"), наличии разных асимптот (горизонтальная у показательной, вертикальная у логарифмической) и прохождении через разные "опорные" точки ($(0;1)$ и $(1;0)$ соответственно).

2. Логарифмическая функция $y = \log_a x$ по определению является обратной к показательной функции $y = a^x$. Чтобы получить функцию, обратную данной, нужно в уравнении функции поменять местами переменные $x$ и $y$. Если в уравнении $y = a^x$ поменять местами $x$ и $y$, мы получим $x = a^y$, что эквивалентно записи $y = \log_a x$.

Геометрически преобразование, при котором координаты $(x; y)$ точки меняются на $(y; x)$, представляет собой симметрию относительно прямой $y=x$. Этот вид движения называется осевой симметрией.

Таким образом, чтобы получить график логарифмической функции $y = \log_a x$ из графика показательной функции $y = a^x$, необходимо выполнить симметричное отражение (осевую симметрию) графика показательной функции относительно прямой $y=x$.

Ответ: График логарифмической функции можно получить из графика показательной функции с помощью осевой симметрии относительно прямой $y=x$.

3. Графики всех логарифмических функций вида $y = \log_a x$ (где $a > 0, a \neq 1$) проходят через одну и ту же точку. Чтобы найти эту точку, нужно найти такую пару координат $(x_0; y_0)$, которая удовлетворяет уравнению $y_0 = \log_a x_0$ при любом допустимом значении $a$.

Рассмотрим значение функции при $x=1$.

$y = \log_a 1$.

По определению логарифма, $\log_a 1$ — это степень, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить 1. Для любого числа $a$, удовлетворяющего условиям $a > 0$ и $a \neq 1$, известно, что $a^0 = 1$.

Следовательно, $\log_a 1 = 0$ для любого допустимого основания $a$.

Таким образом, при $x=1$ значение $y$ всегда равно 0, независимо от основания логарифма. Это означает, что все графики логарифмических функций проходят через точку с координатами $(1; 0)$.

Ответ: Графики всех логарифмических функций проходят через точку $(1; 0)$.

21.1. Постройте схематически график функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = \log_5 x$;

2) $f(x) = \log_{\frac{1}{7}} x$;

3) $f(x) = \log_{12.4} x$;

4) $f(x) = \log_{0.9} x$.

Для построения схематического графика логарифмической функции $y = \log_a x$ необходимо определить ключевые свойства, которые зависят от основания $a$.

Основные свойства:

• Область определения: $x > 0$. График всегда находится в правой полуплоскости.
• График всегда проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_a 1 = 0$ для любого $a > 0, a \neq 1$.
• Ось $Oy$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой.
• Если основание $a > 1$, функция возрастает. При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$.
• Если $0 < a < 1$, функция убывает. При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$.

Применим эти свойства к каждой из заданных функций.

1) f(x) = log₅x

В данной функции основание логарифма $a=5$. Поскольку $a > 1$, функция является возрастающей.

Область определения функции: $x \in (0; +\infty)$.

График функции проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_5 1 = 0$.

Ось $Oy$ является вертикальной асимптотой. При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$.

Для уточнения графика найдем еще одну точку. При $x=5$, $y = \log_5 5 = 1$. Значит, график проходит через точку $(5, 1)$.

Схематически график представляет собой кривую, которая начинается вблизи оси $Oy$ снизу, плавно поднимается, пересекает ось $Ox$ в точке $(1, 0)$, проходит через точку $(5, 1)$ и продолжает расти вправо и вверх.

Ответ: График функции $y = \log_5 x$ — это возрастающая кривая, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(5, 1)$, с областью определения $x > 0$ и вертикальной асимптотой $x=0$.

2) f(x) = log₁/₇x

В данной функции основание логарифма $a=\frac{1}{7}$. Поскольку $0 < a < 1$, функция является убывающей.

Область определения функции: $x \in (0; +\infty)$.

График функции проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_{\frac{1}{7}} 1 = 0$.

Ось $Oy$ является вертикальной асимптотой. При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$.

Для уточнения графика найдем еще одну точку. При $x=\frac{1}{7}$, $y = \log_{\frac{1}{7}} \frac{1}{7} = 1$. Значит, график проходит через точку $(\frac{1}{7}, 1)$.

Схематически график представляет собой кривую, которая начинается вблизи оси $Oy$ сверху, плавно опускается, проходит через точку $(\frac{1}{7}, 1)$, пересекает ось $Ox$ в точке $(1, 0)$ и продолжает убывать вправо и вниз.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{7}} x$ — это убывающая кривая, проходящая через точки $(\frac{1}{7}, 1)$ и $(1, 0)$, с областью определения $x > 0$ и вертикальной асимптотой $x=0$.

3) f(x) = log₁₂,₄x

В данной функции основание логарифма $a=12.4$. Поскольку $a > 1$, функция является возрастающей.

Область определения функции: $x \in (0; +\infty)$.

График функции проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_{12.4} 1 = 0$.

Ось $Oy$ является вертикальной асимптотой. При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$.

Для уточнения графика найдем еще одну точку. При $x=12.4$, $y = \log_{12.4} 12.4 = 1$. Значит, график проходит через точку $(12.4, 1)$.

Схематически график похож на график из пункта 1, но растет медленнее, т.е. является более пологим. Он начинается вблизи оси $Oy$ снизу, поднимается, пересекает ось $Ox$ в точке $(1, 0)$, проходит через точку $(12.4, 1)$ и продолжает медленно расти.

Ответ: График функции $y = \log_{12.4} x$ — это возрастающая кривая, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(12.4, 1)$, с областью определения $x > 0$ и вертикальной асимптотой $x=0$.

4) f(x) = log₀,₉x

В данной функции основание логарифма $a=0.9$. Поскольку $0 < a < 1$, функция является убывающей.

Область определения функции: $x \in (0; +\infty)$.

График функции проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_{0.9} 1 = 0$.

Ось $Oy$ является вертикальной асимптотой. При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$.

Для уточнения графика найдем еще одну точку. При $x=0.9$, $y = \log_{0.9} 0.9 = 1$. Значит, график проходит через точку $(0.9, 1)$.

Схематически график похож на график из пункта 2, но убывает медленнее, так как основание $0.9$ ближе к 1, чем $\frac{1}{7}$. Он начинается вблизи оси $Oy$ сверху, опускается, проходит через точку $(0.9, 1)$, пересекает ось $Ox$ в точке $(1, 0)$ и продолжает медленно убывать.

Ответ: График функции $y = \log_{0.9} x$ — это убывающая кривая, проходящая через точки $(0.9, 1)$ и $(1, 0)$, с областью определения $x > 0$ и вертикальной асимптотой $x=0$.

21.2. Определите, является ли функция $y = f(x)$ возрастающей или убывающей:

1) $f(x) = \log_8 x;$

2) $f(x) = \log_{0.1} x;$

3) $f(x) = \log_{\frac{1}{8}} x;$

4) $f(x) = \lg x .$

Для определения, является ли логарифмическая функция $y = \log_a x$ возрастающей или убывающей, необходимо проанализировать ее основание $a$.

- Если основание логарифма $a > 1$, то функция является возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $f(x)$.

- Если основание логарифма $0 < a < 1$, то функция является убывающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $f(x)$.

Применим это правило к каждой из предложенных функций.

1) $f(x) = \log_8 x$

Основание логарифма $a = 8$. Так как $8 > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

2) $f(x) = \log_{0.1} x$

Основание логарифма $a = 0.1$. Так как $0 < 0.1 < 1$, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

3) $f(x) = \log_{\frac{1}{8}} x$

Основание логарифма $a = \frac{1}{8}$. Так как $0 < \frac{1}{8} < 1$, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

4) $f(x) = \lg x$

Запись $\lg x$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $f(x) = \log_{10} x$. Основание логарифма $a = 10$. Так как $10 > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

21.3. Для каких значений аргумента соответствующие значения функции $y = \log_a x$ положительны и для каких отрицательны? Рассмотрите случаи:

1) $0 < a < 1$

2) $a > 1$

Для решения задачи необходимо определить, при каких значениях $x$ выполняются неравенства $\log_a x > 0$ (значения функции положительны) и $\log_a x < 0$ (значения функции отрицательны). Решение зависит от основания логарифма $a$.

1) 0 < a < 1

В этом случае логарифмическая функция $y = \log_a x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, и при решении неравенств знак меняется на противоположный.

Найдем, когда значения функции положительны:

$\log_a x > 0$

Представим $0$ как $\log_a 1$.

$\log_a x > \log_a 1$

Так как функция убывающая, переходим к аргументам, меняя знак неравенства:

$x < 1$

При этом необходимо учесть область определения логарифма: $x > 0$.

Объединив условия, получаем, что значения функции положительны при $0 < x < 1$.

Найдем, когда значения функции отрицательны:

$\log_a x < 0$

$\log_a x < \log_a 1$

Так как функция убывающая, меняем знак неравенства:

$x > 1$

Значения функции отрицательны при $x > 1$.

Ответ: значения функции положительны при $x \in (0; 1)$, отрицательны при $x \in (1; +\infty)$.

2) a > 1

В этом случае логарифмическая функция $y = \log_a x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и при решении неравенств знак сохраняется.

Найдем, когда значения функции положительны:

$\log_a x > 0$

$\log_a x > \log_a 1$

Так как функция возрастающая, переходим к аргументам, сохраняя знак неравенства:

$x > 1$

Значения функции положительны при $x > 1$.

Найдем, когда значения функции отрицательны:

$\log_a x < 0$

$\log_a x < \log_a 1$

Так как функция возрастающая, сохраняем знак неравенства:

$x < 1$

Учитывая область определения логарифма ($x > 0$), получаем, что значения функции отрицательны при $0 < x < 1$.

Ответ: значения функции положительны при $x \in (1; +\infty)$, отрицательны при $x \in (0; 1)$.

21.4. На основании какого свойства логарифмической функции можно утверждать, что:

1) $\lg 7 > \lg 5$;

2) $\log_{\frac{1}{3}} 7 < \log_{\frac{1}{3}} 5$?

Данные утверждения можно сделать на основании свойства монотонности логарифмической функции $y = \log_a x$. Характер монотонности (возрастание или убывание) определяется основанием логарифма $a$.

1) $\lg 7 > \lg 5$;

Логарифмическая функция $y = \lg x$ представляет собой десятичный логарифм, основание которого $a=10$. Поскольку основание $a > 1$ (так как $10 > 1$), функция является монотонно возрастающей. Это означает, что для любых положительных чисел $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_2 > x_1$, то и $\log_a x_2 > \log_a x_1$. В данном случае сравниваются значения функции для аргументов $7$ и $5$. Так как $7 > 5$, то значение логарифма для большего аргумента будет больше, то есть $\lg 7 > \lg 5$.

Ответ: Утверждение основано на свойстве монотонного возрастания логарифмической функции, так как ее основание $a=10$ больше 1.

2) $\log_{\frac{1}{3}} 7 < \log_{\frac{1}{3}} 5$?

Логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ имеет основание $a = \frac{1}{3}$. Поскольку основание $0 < a < 1$ (так как $0 < \frac{1}{3} < 1$), функция является монотонно убывающей. Это означает, что для любых положительных чисел $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_2 > x_1$, то $\log_a x_2 < \log_a x_1$. В данном случае сравниваются значения функции для аргументов $7$ и $5$. Так как $7 > 5$, то значение логарифма для большего аргумента будет меньше, то есть $\log_{\frac{1}{3}} 7 < \log_{\frac{1}{3}} 5$.

Ответ: Утверждение основано на свойстве монотонного убывания логарифмической функции, так как ее основание $a=\frac{1}{3}$ находится в интервале от 0 до 1.