Вопросы, страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Что общего и каковы различия в свойствах логарифмической и показательной функций?

2. С помощью какого вида движения (геометрического преобразования) можно получить график логарифмической функции ($y = \log_a x$) из графика показательной функции ($y = a^x$)?

3. Через какую точку проходят графики всех логарифмических функций? Ответ обоснуйте.

1. Показательная функция ($y=a^x$) и логарифмическая функция ($y=\log_a x$) являются взаимно обратными, что определяет их основные сходства и различия. У обеих функций основание $a$ должно удовлетворять условиям $a > 0$ и $a \neq 1$.

Общие свойства:

- Монотонность: Обе функции являются строго монотонными на всей своей области определения. Если основание $a > 1$, обе функции возрастают. Если $0 < a < 1$, обе функции убывают.

- Непрерывность: Обе функции непрерывны на своей области определения.

- Отсутствие экстремумов: Обе функции не имеют точек максимума или минимума.

Различия:

- Область определения ($D(y)$):

Для показательной функции $y=a^x$: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Для логарифмической функции $y=\log_a x$: $D(y) = (0; +\infty)$.

- Область значений ($E(y)$):

Для показательной функции $y=a^x$: $E(y) = (0; +\infty)$.

Для логарифмической функции $y=\log_a x$: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Точки пересечения с осями и асимптоты:

График показательной функции $y=a^x$ всегда проходит через точку $(0; 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось Ox).

График логарифмической функции $y=\log_a x$ всегда проходит через точку $(1; 0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$ (ось Oy).

Ответ: Общими свойствами являются монотонность и непрерывность на области определения, а также одинаковые требования к основанию $a$. Различия заключаются в области определения и области значений (они "меняются местами"), наличии разных асимптот (горизонтальная у показательной, вертикальная у логарифмической) и прохождении через разные "опорные" точки ($(0;1)$ и $(1;0)$ соответственно).

2. Логарифмическая функция $y = \log_a x$ по определению является обратной к показательной функции $y = a^x$. Чтобы получить функцию, обратную данной, нужно в уравнении функции поменять местами переменные $x$ и $y$. Если в уравнении $y = a^x$ поменять местами $x$ и $y$, мы получим $x = a^y$, что эквивалентно записи $y = \log_a x$.

Геометрически преобразование, при котором координаты $(x; y)$ точки меняются на $(y; x)$, представляет собой симметрию относительно прямой $y=x$. Этот вид движения называется осевой симметрией.

Таким образом, чтобы получить график логарифмической функции $y = \log_a x$ из графика показательной функции $y = a^x$, необходимо выполнить симметричное отражение (осевую симметрию) графика показательной функции относительно прямой $y=x$.

Ответ: График логарифмической функции можно получить из графика показательной функции с помощью осевой симметрии относительно прямой $y=x$.

3. Графики всех логарифмических функций вида $y = \log_a x$ (где $a > 0, a \neq 1$) проходят через одну и ту же точку. Чтобы найти эту точку, нужно найти такую пару координат $(x_0; y_0)$, которая удовлетворяет уравнению $y_0 = \log_a x_0$ при любом допустимом значении $a$.

Рассмотрим значение функции при $x=1$.

$y = \log_a 1$.

По определению логарифма, $\log_a 1$ — это степень, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить 1. Для любого числа $a$, удовлетворяющего условиям $a > 0$ и $a \neq 1$, известно, что $a^0 = 1$.

Следовательно, $\log_a 1 = 0$ для любого допустимого основания $a$.

Таким образом, при $x=1$ значение $y$ всегда равно 0, независимо от основания логарифма. Это означает, что все графики логарифмических функций проходят через точку с координатами $(1; 0)$.

Ответ: Графики всех логарифмических функций проходят через точку $(1; 0)$.