Номер 20.27, страница 161 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

20.27. 1) $27^{\log_{\sqrt{3}} \frac{6}{\sqrt{3}}} + 4 \cdot 5^{\log_{0,01} 9} - 2^{\log_8 125} \cdot \log_{32} 16;$

2) $7^{\frac{2}{\log_2 7}} \cdot 4^{\log_4 6} + 4 \cdot 6^{\frac{1}{\log_4 6}} + (\sqrt[3]{5})^{\log_5 27};$

3) $\left(3^{\log_{\sqrt{3}} 2} - 4^{\log_{\sqrt{3}} 2}\right)^2 - 3^{\frac{1}{\log_5 3}};$

4) $\left(3^{\frac{\log_3 5}{\log_5 3}} - 5^{\frac{1}{\log_5 3}} + 0,008^{\log_{313} 19}\right)^{\frac{1}{2}};$

5) $\left(2^{\frac{\log_2 5}{\log_5 2}} - 5^{\frac{1}{\log_5 2}} + 5^{\log_5 25}\right)^{\frac{1}{2}}.$

1) $27^{\log_{\sqrt{3}} \sqrt[6]{3}} + 4 \cdot 5^{\log_{0,01} 9} - 2^{\log_8 125} \cdot \log_{32} 16$

Решение:

Вычислим каждое слагаемое по отдельности.

1. Первое слагаемое: $27^{\log_{\sqrt{3}} \sqrt[6]{3}}$.

Упростим показатель степени: $\log_{\sqrt{3}} \sqrt[6]{3} = \log_{3^{1/2}} 3^{1/6}$. Используя свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$, получаем:$\frac{1/6}{1/2}\log_3 3 = \frac{1}{6} \cdot 2 = \frac{1}{3}$.

Тогда первое слагаемое равно $27^{1/3} = \sqrt[3]{27} = 3$.

2. Третье слагаемое: $2^{\log_8 125} \cdot \log_{32} 16$.

Упростим первый множитель: $2^{\log_8 125} = 2^{\log_{2^3} 5^3} = 2^{\frac{3}{3}\log_2 5} = 2^{\log_2 5} = 5$.

Упростим второй множитель: $\log_{32} 16 = \log_{2^5} 2^4 = \frac{4}{5}\log_2 2 = \frac{4}{5}$.

Произведение равно $5 \cdot \frac{4}{5} = 4$.

3. Второе слагаемое: $4 \cdot 5^{\log_{0,01} 9}$.

Упростим показатель степени: $\log_{0,01} 9 = \log_{10^{-2}} 3^2 = \frac{2}{-2}\log_{10} 3 = -\log_{10} 3$.

Выражение принимает вид $4 \cdot 5^{-\log_{10} 3}$, которое не упрощается до рационального числа. Вероятно, в условии задачи опечатка. Наиболее вероятная опечатка — в основании логарифма. Если бы основание было $0,04 = 1/25$, то:$\log_{0,04} 9 = \log_{1/25} 9 = \log_{5^{-2}} 3^2 = \frac{2}{-2}\log_5 3 = -\log_5 3$.

Тогда второе слагаемое: $4 \cdot 5^{-\log_5 3} = 4 \cdot 5^{\log_5 3^{-1}} = 4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

4. Соберем все вместе, предполагая опечатку: $3 + \frac{4}{3} - 4 = -1 + \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$ (в предположении, что основание логарифма во втором слагаемом равно 0,04, а не 0,01).

2) $7^{\frac{2}{\log_2 7}} \cdot 4^{\log_4 6} + 4 \cdot 6^{\frac{1}{\log_4 6}} + (\sqrt[3]{5})^{\log_5 27}$

Решение:

Вычислим каждое слагаемое по отдельности, используя свойства логарифмов $a^{\log_a b}=b$ и $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$.

1. Первое слагаемое: $7^{\frac{2}{\log_2 7}} \cdot 4^{\log_4 6}$.

$7^{\frac{2}{\log_2 7}} = 7^{2\log_7 2} = 7^{\log_7 2^2} = 7^{\log_7 4} = 4$.

$4^{\log_4 6} = 6$.

Произведение равно $4 \cdot 6 = 24$.

2. Второе слагаемое: $4 \cdot 6^{\frac{1}{\log_4 6}}$.

$6^{\frac{1}{\log_4 6}} = 6^{\log_6 4} = 4$.

Слагаемое равно $4 \cdot 4 = 16$.

3. Третье слагаемое: $(\sqrt[3]{5})^{\log_5 27}$.

$(\sqrt[3]{5})^{\log_5 27} = (5^{1/3})^{\log_5 3^3} = (5^{1/3})^{3\log_5 3} = 5^{\frac{1}{3} \cdot 3\log_5 3} = 5^{\log_5 3} = 3$.

4. Сложим полученные результаты: $24 + 16 + 3 = 43$.

Ответ: 43

3) $(3^{\log_2 \sqrt{3}} - 4^{\log_2 \sqrt{3}})^2 - 3^{\frac{1}{\log_5 3}}$

Решение:

Выражение в текущем виде не упрощается до рационального числа. Вероятно, в условии задачи опечатка. Распространенный вариант подобной задачи предполагает, что основание первого члена в скобках равно 16, а не 3. Решим задачу с этим исправлением.

$(16^{\log_2 \sqrt{3}} - 4^{\log_2 \sqrt{3}})^2 - 3^{\frac{1}{\log_5 3}}$

1. Упростим выражение в скобках.

$16^{\log_2 \sqrt{3}} = (2^4)^{\log_2 3^{1/2}} = 2^{4 \cdot \frac{1}{2}\log_2 3} = 2^{2\log_2 3} = 2^{\log_2 3^2} = 2^{\log_2 9} = 9$.

$4^{\log_2 \sqrt{3}} = (2^2)^{\log_2 3^{1/2}} = 2^{2 \cdot \frac{1}{2}\log_2 3} = 2^{\log_2 3} = 3$.

Выражение в скобках равно $9 - 3 = 6$.

2. Возведем в квадрат: $6^2 = 36$.

3. Упростим вычитаемое: $3^{\frac{1}{\log_5 3}} = 3^{\log_3 5} = 5$.

4. Выполним вычитание: $36 - 5 = 31$.

Ответ: 31 (в предположении, что первое число в скобках — 16, а не 3).

4) $(3^{\frac{\log_3 5}{\log_5 3}} - 5^{\frac{1}{\log_5 3}} + 0,008^{\log_{313} 49})^{\frac{1}{2}}$

Решение:

1. Упростим выражение в скобках.

Первый член: $3^{\frac{\log_3 5}{\log_5 3}}$. Используя свойство $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$, преобразуем знаменатель показателя: $\log_5 3 = \frac{1}{\log_3 5}$.

Показатель становится: $\frac{\log_3 5}{1/\log_3 5} = (\log_3 5)^2$.

Первый член равен $3^{(\log_3 5)^2} = (3^{\log_3 5})^{\log_3 5} = 5^{\log_3 5}$.

Второй член: $5^{\frac{1}{\log_5 3}} = 5^{\log_3 5}$.

Разность первого и второго членов: $5^{\log_3 5} - 5^{\log_3 5} = 0$.

2. Третий член: $0,008^{\log_{313} 49}$.

Основание $0,008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125} = 5^{-3}$.

Основание логарифма $313$ является простым числом, что делает вычисление невозможным без калькулятора. Вероятно, это опечатка, и имелось в виду число $343 = 7^3$. Примем это допущение.

$\log_{343} 49 = \log_{7^3} 7^2 = \frac{2}{3}$.

Тогда третий член равен $(5^{-3})^{2/3} = 5^{-3 \cdot 2/3} = 5^{-2} = \frac{1}{25}$.

3. Выражение в скобках равно $0 + \frac{1}{25} = \frac{1}{25}$.

4. Извлечем квадратный корень: $(\frac{1}{25})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$ (в предположении, что основание логарифма в третьем слагаемом равно 343, а не 313).

5) $(2^{\frac{\log_2 5}{\log_5 2}} - 5^{\frac{1}{\log_5 2}} + 5^{\log_5 25})^{\frac{1}{2}}$

Решение:

1. Упростим выражение в скобках.

Первый член: $2^{\frac{\log_2 5}{\log_5 2}}$. Используя свойство $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$, преобразуем знаменатель показателя: $\log_5 2 = \frac{1}{\log_2 5}$.

Показатель становится: $\frac{\log_2 5}{1/\log_2 5} = (\log_2 5)^2$.

Первый член равен $2^{(\log_2 5)^2} = (2^{\log_2 5})^{\log_2 5} = 5^{\log_2 5}$.

Второй член: $5^{\frac{1}{\log_5 2}} = 5^{\log_2 5}$.

Разность первого и второго членов: $5^{\log_2 5} - 5^{\log_2 5} = 0$.

2. Третий член: $5^{\log_5 25}$.

$\log_5 25 = \log_5 5^2 = 2$.

Третий член равен $5^2 = 25$.

3. Выражение в скобках равно $0 + 25 = 25$.

4. Извлечем квадратный корень: $(25)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5