Номер 20.22, страница 161 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

20.22. Между какими целыми числами заключается значение логарифма числа:

1) 7, 30, 120, 495 — по основанию 2;

2) 3, 18, 134 и 1782 — по основанию 10?

1)

Чтобы найти, между какими целыми числами заключается значение логарифма числа по основанию 2, нужно найти такое целое число $n$, что выполняется неравенство $2^n < x < 2^{n+1}$, где $x$ — данное число. Тогда по определению и свойству монотонности логарифма будет выполняться неравенство $n < \log_2(x) < n+1$.

Для числа 7: найдём степени двойки, между которыми находится число 7. Мы знаем, что $2^2 = 4$ и $2^3 = 8$. Так как $4 < 7 < 8$, то справедливо неравенство $2^2 < 7 < 2^3$. Логарифмируя все части по основанию 2, получаем $\log_2(2^2) < \log_2(7) < \log_2(2^3)$, откуда следует, что $2 < \log_2(7) < 3$. Значение логарифма находится между 2 и 3.

Для числа 30: найдём степени двойки. $2^4 = 16$ и $2^5 = 32$. Так как $16 < 30 < 32$, то $2^4 < 30 < 2^5$. Отсюда следует, что $4 < \log_2(30) < 5$. Значение логарифма находится между 4 и 5.

Для числа 120: найдём степени двойки. $2^6 = 64$ и $2^7 = 128$. Так как $64 < 120 < 128$, то $2^6 < 120 < 2^7$. Отсюда следует, что $6 < \log_2(120) < 7$. Значение логарифма находится между 6 и 7.

Для числа 495: найдём степени двойки. $2^8 = 256$ и $2^9 = 512$. Так как $256 < 495 < 512$, то $2^8 < 495 < 2^9$. Отсюда следует, что $8 < \log_2(495) < 9$. Значение логарифма находится между 8 и 9.

Ответ: значение $\log_2(7)$ заключается между 2 и 3; $\log_2(30)$ — между 4 и 5; $\log_2(120)$ — между 6 и 7; $\log_2(495)$ — между 8 и 9.

2)

Аналогично, чтобы найти, между какими целыми числами заключается значение логарифма числа по основанию 10, нужно найти такое целое число $n$, что выполняется неравенство $10^n < x < 10^{n+1}$. Тогда $n < \log_{10}(x) < n+1$.

Для числа 3: найдём степени десяти. $10^0 = 1$ и $10^1 = 10$. Так как $1 < 3 < 10$, то $10^0 < 3 < 10^1$. Отсюда следует, что $0 < \log_{10}(3) < 1$. Значение логарифма находится между 0 и 1.

Для числа 18: найдём степени десяти. $10^1 = 10$ и $10^2 = 100$. Так как $10 < 18 < 100$, то $10^1 < 18 < 10^2$. Отсюда следует, что $1 < \log_{10}(18) < 2$. Значение логарифма находится между 1 и 2.

Для числа 134: найдём степени десяти. $10^2 = 100$ и $10^3 = 1000$. Так как $100 < 134 < 1000$, то $10^2 < 134 < 10^3$. Отсюда следует, что $2 < \log_{10}(134) < 3$. Значение логарифма находится между 2 и 3.

Для числа 1782: найдём степени десяти. $10^3 = 1000$ и $10^4 = 10000$. Так как $1000 < 1782 < 10000$, то $10^3 < 1782 < 10^4$. Отсюда следует, что $3 < \log_{10}(1782) < 4$. Значение логарифма находится между 3 и 4.

Ответ: значение $\log_{10}(3)$ заключается между 0 и 1; $\log_{10}(18)$ — между 1 и 2; $\log_{10}(134)$ — между 2 и 3; $\log_{10}(1782)$ — между 3 и 4.