Номер 20.19, страница 160 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

20.19. Выразите:

1) $ \lg25 $, если $ \lg2 = a $;

2) $ \log_{50} 8 $, если $ \lg5 = a $ и $ \lg2 = c $;

3) $ 3\log_{\frac{\sqrt{a}}{b}}\left(\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}\right) + \log_{\frac{\sqrt{a}}{b}} b $, если $ \log_b a = 3 $;

4) $ \log_{\sqrt{ab}}\left(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}}\right) + \log_{\sqrt{ab}}(a\sqrt{a}) $, если $ \log_a b = 4 $.

1) Для решения используем свойство логарифмов $\lg x = \log_{10} x$ и тот факт, что $\lg 10 = 1$.

Сначала выразим $\lg 5$ через данное нам значение $\lg 2 = a$. Мы знаем, что произведение под логарифмом раскладывается в сумму логарифмов:

$\lg 10 = \lg(2 \cdot 5) = \lg 2 + \lg 5$

Так как $\lg 10 = 1$ и $\lg 2 = a$, получаем:

$1 = a + \lg 5$

Отсюда находим $\lg 5$:

$\lg 5 = 1 - a$

Теперь преобразуем искомое выражение, используя свойство степени логарифма $\log_k x^n = n \log_k x$:

$\lg 25 = \lg 5^2 = 2 \lg 5$

Подставляем найденное ранее выражение для $\lg 5$:

$2 \lg 5 = 2(1 - a) = 2 - 2a$

Ответ: $2 - 2a$.

2) Для решения воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\log_b x = \frac{\log_k x}{\log_k b}$. Перейдем к основанию 10 (десятичному логарифму, lg), так как нам даны значения $\lg 5 = a$ и $\lg 2 = c$.

$\log_{50} 8 = \frac{\lg 8}{\lg 50}$

Выразим числитель и знаменатель через заданные $a$ и $c$, используя свойства логарифмов.

Преобразуем числитель:

$\lg 8 = \lg 2^3 = 3 \lg 2 = 3c$

Преобразуем знаменатель:

$\lg 50 = \lg(5^2 \cdot 2) = \lg 5^2 + \lg 2 = 2 \lg 5 + \lg 2 = 2a + c$

Теперь подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\log_{50} 8 = \frac{3c}{2a + c}$

Ответ: $\frac{3c}{2a+c}$.

3) Упростим данное выражение, используя свойства логарифмов $n \log_k x = \log_k x^n$ и $\log_k x + \log_k y = \log_k (xy)$. Основание логарифма в обоих слагаемых одинаковое: $\frac{\sqrt{a}}{b}$.

$3 \log_{\frac{\sqrt{a}}{b}} \left( \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}} \right) + \log_{\frac{\sqrt{a}}{b}} b = \log_{\frac{\sqrt{a}}{b}} \left( \left( \frac{a^{1/3}}{b^{1/2}} \right)^3 \right) + \log_{\frac{\sqrt{a}}{b}} b$

$= \log_{\frac{\sqrt{a}}{b}} \left( \frac{a}{b^{3/2}} \right) + \log_{\frac{\sqrt{a}}{b}} b = \log_{\frac{\sqrt{a}}{b}} \left( \frac{a}{b^{3/2}} \cdot b \right) = \log_{\frac{\sqrt{a}}{b}} \left( \frac{a}{b^{1/2}} \right)$

Для вычисления полученного логарифма воспользуемся формулой перехода к новому основанию, выбрав в качестве него $b$. Нам дано, что $\log_b a = 3$.

$\log_{\frac{\sqrt{a}}{b}} \left( \frac{a}{\sqrt{b}} \right) = \frac{\log_b \left( \frac{a}{\sqrt{b}} \right)}{\log_b \left( \frac{\sqrt{a}}{b} \right)}$

Вычислим числитель, используя свойства логарифма частного:

$\log_b \left( \frac{a}{\sqrt{b}} \right) = \log_b a - \log_b \sqrt{b} = \log_b a - \log_b b^{1/2} = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

Вычислим знаменатель:

$\log_b \left( \frac{\sqrt{a}}{b} \right) = \log_b \sqrt{a} - \log_b b = \log_b a^{1/2} - 1 = \frac{1}{2} \log_b a - 1 = \frac{1}{2} \cdot 3 - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

Найдем значение всего выражения, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{5/2}{1/2} = 5$

Ответ: $5$.

4) Поскольку основания логарифмов одинаковы ($\sqrt{ab}$), мы можем объединить их, используя свойство суммы логарифмов $\log_k x + \log_k y = \log_k (xy)$:

$\log_{\sqrt{ab}} \left( \frac{\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}} \right) + \log_{\sqrt{ab}} (a\sqrt{a}) = \log_{\sqrt{ab}} \left( \frac{\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}} \cdot a\sqrt{a} \right)$

Упростим выражение под знаком логарифма, представив корни в виде степеней:

$\frac{b^{1/2}}{a^{1/4}} \cdot a^1 \cdot a^{1/2} = \frac{b^{1/2}}{a^{1/4}} \cdot a^{3/2} = b^{1/2} \cdot a^{3/2 - 1/4} = b^{1/2} \cdot a^{6/4 - 1/4} = b^{1/2} a^{5/4}$

Итак, мы получили выражение $\log_{\sqrt{ab}} (b^{1/2} a^{5/4})$.

Теперь воспользуемся условием $\log_a b = 4$. По определению логарифма, это означает, что $b = a^4$. Подставим это в наше выражение.

Основание логарифма: $\sqrt{ab} = \sqrt{a \cdot a^4} = \sqrt{a^5} = a^{5/2}$.

Выражение под логарифмом: $b^{1/2} a^{5/4} = (a^4)^{1/2} a^{5/4} = a^2 \cdot a^{5/4} = a^{2+5/4} = a^{8/4+5/4} = a^{13/4}$.

Наш логарифм принимает вид:

$\log_{a^{5/2}} (a^{13/4})$

Используем свойство логарифма $\log_{x^m} y^n = \frac{n}{m} \log_x y$:

$\log_{a^{5/2}} (a^{13/4}) = \frac{13/4}{5/2} \log_a a = \frac{13/4}{5/2} \cdot 1 = \frac{13}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{26}{20} = \frac{13}{10} = 1.3$

Ответ: $1.3$.