Номер 20.24, страница 161 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

20.24. 1) Чему равен логарифм числа $\sqrt[5]{8}$ по основанию: $2; \frac{1}{2}; 4; 16; 64?$

2) При каком основании $a$ значение $\log_a \sqrt{27}$ равно: $\frac{3}{2}; \frac{2}{3}; -\frac{1}{2}; -\frac{3}{4}?$

1) Чтобы найти логарифм числа $\sqrt[5]{8}$ по различным основаниям, сначала преобразуем это число. Число $8$ можно представить как степень двойки: $8=2^3$. Тогда корень пятой степени из восьми равен: $\sqrt[5]{8} = \sqrt[5]{2^3} = (2^3)^{1/5} = 2^{3/5}$. Для вычисления логарифмов будем использовать свойство $\log_{b^n} a^m = \frac{m}{n} \log_b a$.

по основанию 2:

$\log_2(\sqrt[5]{8}) = \log_2(2^{3/5}) = \frac{3}{5} \log_2(2) = \frac{3}{5} \cdot 1 = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

по основанию $\frac{1}{2}$:

Основание $\frac{1}{2}$ можно представить как $2^{-1}$. Тогда:

$\log_{1/2}(\sqrt[5]{8}) = \log_{2^{-1}}(2^{3/5}) = \frac{3/5}{-1} \log_2(2) = -\frac{3}{5}$.

Ответ: $-\frac{3}{5}$.

по основанию 4:

Основание $4$ можно представить как $2^2$. Тогда:

$\log_4(\sqrt[5]{8}) = \log_{2^2}(2^{3/5}) = \frac{3/5}{2} \log_2(2) = \frac{3}{10}$.

Ответ: $\frac{3}{10}$.

по основанию 16:

Основание $16$ можно представить как $2^4$. Тогда:

$\log_{16}(\sqrt[5]{8}) = \log_{2^4}(2^{3/5}) = \frac{3/5}{4} \log_2(2) = \frac{3}{20}$.

Ответ: $\frac{3}{20}$.

по основанию 64:

Основание $64$ можно представить как $2^6$. Тогда:

$\log_{64}(\sqrt[5]{8}) = \log_{2^6}(2^{3/5}) = \frac{3/5}{6} \log_2(2) = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$.

Ответ: $\frac{1}{10}$.

2) Чтобы найти основание $a$, при котором значение $\log_a \sqrt{27}$ равно заданным числам, сначала преобразуем число под знаком логарифма. Число $27=3^3$, тогда $\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3^{3/2}$. Задача сводится к решению уравнений вида $\log_a (3^{3/2}) = x$ для различных $x$. По определению логарифма ($a>0, a \neq 1$), это уравнение эквивалентно степенному уравнению $a^x = 3^{3/2}$.

при значении $\frac{3}{2}$:

Уравнение имеет вид $\log_a \sqrt{27} = \frac{3}{2}$. Следовательно, $a^{3/2} = \sqrt{27} = 3^{3/2}$. Отсюда $a=3$.

Ответ: $a=3$.

при значении $\frac{2}{3}$:

Уравнение имеет вид $\log_a \sqrt{27} = \frac{2}{3}$. Следовательно, $a^{2/3} = 3^{3/2}$. Возведем обе части в степень $\frac{3}{2}$: $(a^{2/3})^{3/2} = (3^{3/2})^{3/2}$, что дает $a = 3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}} = 3^{9/4}$.

Ответ: $a=3^{9/4}$.

при значении $-\frac{1}{2}$:

Уравнение имеет вид $\log_a \sqrt{27} = -\frac{1}{2}$. Следовательно, $a^{-1/2} = 3^{3/2}$. Возведем обе части в степень $-2$: $(a^{-1/2})^{-2} = (3^{3/2})^{-2}$, что дает $a = 3^{\frac{3}{2} \cdot (-2)} = 3^{-3} = \frac{1}{27}$.

Ответ: $a=\frac{1}{27}$.

при значении $-\frac{3}{4}$:

Уравнение имеет вид $\log_a \sqrt{27} = -\frac{3}{4}$. Следовательно, $a^{-3/4} = 3^{3/2}$. Возведем обе части в степень $-\frac{4}{3}$: $(a^{-3/4})^{-4/3} = (3^{3/2})^{-4/3}$, что дает $a = 3^{\frac{3}{2} \cdot (-\frac{4}{3})} = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $a=\frac{1}{9}$.