Страница 160 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

20.12. Найдите неизвестное, используя определение логарифма:

1) $x = \log_3 27;$

2) $y = \log_2 16;$

3) $z = \log_5 625;$

4) $x = \log_2 0,125;$

5) $\log_{3/2} y = 2;$

6) $\log_{1/2} z = -3.$

1) Чтобы найти $x$ в уравнении $x = \log_3 27$, воспользуемся определением логарифма: $\log_b a = c$ эквивалентно $b^c = a$. В данном случае основание $b=3$, число $a=27$, а логарифм $c=x$. Следовательно, уравнение можно записать в виде показательного уравнения: $3^x = 27$. Мы знаем, что $27$ это $3$ в третьей степени, то есть $27 = 3^3$. Таким образом, получаем уравнение $3^x = 3^3$. Поскольку основания степеней равны, то равны и их показатели. Отсюда $x=3$. Ответ: $3$.

2) Для уравнения $y = \log_2 16$ применяем то же определение логарифма. Здесь основание $b=2$, число $a=16$, а логарифм $c=y$. Переписываем в виде $2^y = 16$. Представим $16$ как степень числа $2$: $16 = 2^4$. Получаем уравнение $2^y = 2^4$. Из равенства оснований следует равенство показателей, поэтому $y=4$. Ответ: $4$.

3) В уравнении $z = \log_5 625$ основание $b=5$, число $a=625$, логарифм $c=z$. По определению логарифма это равносильно уравнению $5^z = 625$. Найдем, в какую степень нужно возвести $5$, чтобы получить $625$. Так как $5^2 = 25$, $5^3 = 125$ и $5^4 = 625$, то получаем уравнение $5^z = 5^4$. Следовательно, $z=4$. Ответ: $4$.

4) В уравнении $x = \log_2 0,125$ основание $b=2$, число $a=0,125$, логарифм $c=x$. Записываем эквивалентное показательное уравнение: $2^x = 0,125$. Преобразуем десятичную дробь $0,125$ в обыкновенную: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$. Теперь представим $\frac{1}{8}$ как степень числа $2$. Поскольку $8 = 2^3$, то $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$. Уравнение принимает вид $2^x = 2^{-3}$. Отсюда $x=-3$. Ответ: $-3$.

5) В уравнении $\log_{\frac{3}{2}} y = 2$ неизвестной является число под знаком логарифма. Используем определение: основание $b=\frac{3}{2}$, логарифм $c=2$, число $a=y$. Записываем показательное уравнение: $(\frac{3}{2})^2 = y$. Чтобы найти $y$, нужно возвести дробь в квадрат: $y = (\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$. Ответ: $\frac{9}{4}$.

6) В уравнении $\log_{\frac{1}{2}} z = -3$ неизвестной также является число под логарифмом. Основание $b=\frac{1}{2}$, логарифм $c=-3$, число $a=z$. По определению логарифма имеем: $(\frac{1}{2})^{-3} = z$. Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно перевернуть дробь и возвести в ту же степень, но с положительным знаком: $z = (\frac{1}{2})^{-3} = (\frac{2}{1})^3 = 2^3 = 8$. Ответ: $8$.

Найдите значения выражений (20.13–20.14):

20.13. 1) $\frac{25^{\log_5 2} + 1}{49^{\log_7 4}}$;

2) $\frac{16^{0.5 \log_4 10}}{10^{\log_4 1} + 1}$;

3) $25^{2 - \log_5 2} + 7^{-\log_7 3}$;

4) $\log_4 \frac{1}{5} + \log_4 36 + \frac{1}{2} \log_4 \frac{25}{81}$.

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{25^{\log_5 2} + 1}{49^{\log_7 4}}$, преобразуем числитель и знаменатель по отдельности, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ и свойства степеней.

Сначала преобразуем числитель:

$25^{\log_5 2} + 1 = (5^2)^{\log_5 2} + 1 = 5^{2\log_5 2} + 1$.

Используя свойство логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$, получаем:

$5^{\log_5 2^2} + 1 = 5^{\log_5 4} + 1$.

По основному логарифмическому тождеству это равно:

$4 + 1 = 5$.

Теперь преобразуем знаменатель:

$49^{\log_7 4} = (7^2)^{\log_7 4} = 7^{2\log_7 4} = 7^{\log_7 4^2} = 7^{\log_7 16}$.

По основному логарифмическому тождеству это равно $16$.

Таким образом, значение всего выражения равно $\frac{5}{16}$.

Ответ: $\frac{5}{16}$.

2) Чтобы найти значение выражения $\frac{16^{0.5 \log_4 10}}{10^{\lg 4} + 1}$, также преобразуем числитель и знаменатель по отдельности.

Преобразуем числитель:

$16^{0.5 \log_4 10} = (4^2)^{0.5 \log_4 10} = 4^{2 \cdot 0.5 \log_4 10} = 4^{1 \cdot \log_4 10} = 4^{\log_4 10}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем $10$.

Преобразуем знаменатель. Учтем, что $\lg 4$ это десятичный логарифм, то есть $\log_{10} 4$:

$10^{\lg 4} + 1 = 10^{\log_{10} 4} + 1$.

По основному логарифмическому тождеству это равно:

$4 + 1 = 5$.

Теперь найдем значение дроби:

$\frac{10}{5} = 2$.

Ответ: $2$.

3) Чтобы найти значение выражения $25^{2 - \log_5 2} + 7^{-\log_7 3}$, преобразуем каждое слагаемое.

Первое слагаемое, используя свойства степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$25^{2 - \log_5 2} = \frac{25^2}{25^{\log_5 2}} = \frac{625}{(5^2)^{\log_5 2}} = \frac{625}{5^{2\log_5 2}} = \frac{625}{5^{\log_5 2^2}} = \frac{625}{5^{\log_5 4}}$.

По основному логарифмическому тождеству, получаем:

$\frac{625}{4}$.

Второе слагаемое, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и свойство логарифма $- \log_a b = \log_a b^{-1}$:

$7^{-\log_7 3} = 7^{\log_7 3^{-1}} = 7^{\log_7 \frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$.

Теперь сложим полученные значения:

$\frac{625}{4} + \frac{1}{3} = \frac{625 \cdot 3}{12} + \frac{1 \cdot 4}{12} = \frac{1875 + 4}{12} = \frac{1879}{12}$.

Ответ: $\frac{1879}{12}$.

4) Чтобы найти значение выражения $\log_4 \frac{1}{5} + \log_4 36 + \frac{1}{2} \log_4 \frac{25}{81}$, используем свойства логарифмов.

Сначала преобразуем третье слагаемое, используя свойство $n \log_a b = \log_a b^n$:

$\frac{1}{2} \log_4 \frac{25}{81} = \log_4 \left(\left(\frac{25}{81}\right)^{\frac{1}{2}}\right) = \log_4 \sqrt{\frac{25}{81}} = \log_4 \frac{5}{9}$.

Теперь выражение имеет вид:

$\log_4 \frac{1}{5} + \log_4 36 + \log_4 \frac{5}{9}$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$:

$\log_4 \left(\frac{1}{5} \cdot 36 \cdot \frac{5}{9}\right)$.

Упростим выражение под знаком логарифма:

$\frac{1}{5} \cdot 36 \cdot \frac{5}{9} = \frac{1 \cdot 36 \cdot 5}{5 \cdot 9} = \frac{36}{9} = 4$.

Таким образом, мы получили $\log_4 4$.

По свойству $\log_a a = 1$, значение выражения равно $1$.

Ответ: $1$.

20.14. 1) $\log_2 12 + \log_2 \frac{5}{3} + \log_2 \frac{4}{5}$;

2) $(\log_5 128) (\log_2 \frac{1}{125})$;

3) $3^{2-\log_3 5} + \left(\frac{1}{3}\right)^{\log_3 5}$;

4) $9^{3-\log_3 54} + 7^{-\log_7 4}$.

1) Для решения данного примера воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.

$\log_{2}12 + \log_{2}\frac{5}{3} + \log_{2}\frac{4}{5} = \log_{2}(12 \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{4}{5})$

Вычислим произведение под знаком логарифма:

$12 \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{12 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{4 \cdot 4}{1} = 16$

Теперь подставим результат обратно в выражение:

$\log_{2}16$

Так как $16 = 2^4$, то по определению логарифма:

$\log_{2}(2^4) = 4$

Ответ: 4

2) Для решения этого примера преобразуем каждый множитель, используя свойства логарифмов $\log_a b^p = p \log_a b$ и $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$.

Рассмотрим первый множитель: $\log_{5}128$.

Так как $128 = 2^7$, то $\log_{5}128 = \log_{5}(2^7) = 7\log_{5}2$.

Рассмотрим второй множитель: $\log_{2}\frac{1}{125}$.

Так как $\frac{1}{125} = 125^{-1} = (5^3)^{-1} = 5^{-3}$, то $\log_{2}\frac{1}{125} = \log_{2}(5^{-3}) = -3\log_{2}5$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$(7\log_{5}2) \cdot (-3\log_{2}5) = -21 \cdot (\log_{5}2 \cdot \log_{2}5)$

Используем свойство $\log_a b \cdot \log_b a = 1$:

$-21 \cdot 1 = -21$

Ответ: -21

3) Решим этот пример, разбив его на два слагаемых и используя свойства степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.

Первое слагаемое: $3^{2-\log_{3}5}$.

$3^{2-\log_{3}5} = \frac{3^2}{3^{\log_{3}5}} = \frac{9}{5}$

Второе слагаемое: $(\frac{1}{3})^{\log_{3}5}$.

Представим $\frac{1}{3}$ как $3^{-1}$:

$(\frac{1}{3})^{\log_{3}5} = (3^{-1})^{\log_{3}5} = 3^{-1 \cdot \log_{3}5} = 3^{-\log_{3}5}$

Используя свойство $k \log_a b = \log_a b^k$, получаем:

$3^{\log_{3}5^{-1}} = 3^{\log_{3}\frac{1}{5}} = \frac{1}{5}$

Сложим полученные результаты:

$\frac{9}{5} + \frac{1}{5} = \frac{10}{5} = 2$

Ответ: 2

4) Решим этот пример, также как и предыдущий, разбив на два слагаемых.

Первое слагаемое: $9^{3-\log_{3}54}$.

Приведем основание степени к основанию логарифма: $9 = 3^2$.

$9^{3-\log_{3}54} = (3^2)^{3-\log_{3}54} = 3^{2(3-\log_{3}54)} = 3^{6 - 2\log_{3}54}$

Используем свойство разности в показателе степени:

$\frac{3^6}{3^{2\log_{3}54}} = \frac{3^6}{3^{\log_{3}54^2}} = \frac{3^6}{54^2}$

Вычислим значения:

$\frac{3^6}{54^2} = \frac{729}{(2 \cdot 27)^2} = \frac{729}{4 \cdot 27^2} = \frac{729}{4 \cdot 729} = \frac{1}{4}$

Второе слагаемое: $7^{-\log_{7}4}$.

Используем свойство $k \log_a b = \log_a b^k$ и основное логарифмическое тождество:

$7^{-\log_{7}4} = 7^{\log_{7}4^{-1}} = 7^{\log_{7}\frac{1}{4}} = \frac{1}{4}$

Сложим полученные результаты:

$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

20.15. Сравните:

1) $9^{\log_{\frac{1}{9}}\left(\frac{2}{3}\right)}$ и $\sqrt{5}$;

2) $\sqrt[3]{3}$ и $\left(\frac{1}{36}\right)^{\log_6 2}$.

1) Сравнить $9^{\log_{\frac{1}{9}}(\frac{2}{3})}$ и $\sqrt{5}$.

Сначала упростим первое выражение $9^{\log_{\frac{1}{9}}(\frac{2}{3})}$.

Для этого приведем основание степени и основание логарифма к одному числу. Представим $9$ через $\frac{1}{9}$:

$9 = \frac{1}{9^{-1}} = (\frac{1}{9})^{-1}$

Подставим это в исходное выражение:

$9^{\log_{\frac{1}{9}}(\frac{2}{3})} = ((\frac{1}{9})^{-1})^{\log_{\frac{1}{9}}(\frac{2}{3})}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, перемножим показатели:

$(\frac{1}{9})^{-1 \cdot \log_{\frac{1}{9}}(\frac{2}{3})}$

Теперь воспользуемся свойством логарифма $k \log_b a = \log_b a^k$ и внесем множитель -1 под знак логарифма как степень его аргумента:

$(\frac{1}{9})^{\log_{\frac{1}{9}}((\frac{2}{3})^{-1})}$

Вычислим значение в скобках: $(\frac{2}{3})^{-1} = \frac{3}{2}$.

Выражение принимает вид:

$(\frac{1}{9})^{\log_{\frac{1}{9}}(\frac{3}{2})}$

Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$(\frac{1}{9})^{\log_{\frac{1}{9}}(\frac{3}{2})} = \frac{3}{2}$

Теперь задача сводится к сравнению чисел $\frac{3}{2}$ и $\sqrt{5}$.

Так как оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты. Знак неравенства при этом не изменится.

$(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} = 2.25$

$(\sqrt{5})^2 = 5$

Поскольку $2.25 < 5$, то и $\frac{3}{2} < \sqrt{5}$.

Следовательно, $9^{\log_{\frac{1}{9}}(\frac{2}{3})} < \sqrt{5}$.

Ответ: $9^{\log_{\frac{1}{9}}(\frac{2}{3})} < \sqrt{5}$.

2) Сравнить $\sqrt[8]{3}$ и $(\frac{1}{36})^{\log_6 2}$.

Сначала упростим второе выражение $(\frac{1}{36})^{\log_6 2}$.

Приведем основание степени $\frac{1}{36}$ к основанию логарифма 6:

$\frac{1}{36} = 36^{-1} = (6^2)^{-1} = 6^{-2}$

Подставим это в выражение:

$(\frac{1}{36})^{\log_6 2} = (6^{-2})^{\log_6 2}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получим:

$6^{-2 \cdot \log_6 2}$

По свойству логарифма $k \log_b a = \log_b a^k$, внесем множитель -2 в показатель степени аргумента логарифма:

$6^{\log_6 (2^{-2})}$

Вычислим $2^{-2} = \frac{1}{4}$.

Выражение примет вид:

$6^{\log_6 (\frac{1}{4})}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$6^{\log_6 (\frac{1}{4})} = \frac{1}{4}$

Теперь необходимо сравнить числа $\sqrt[8]{3}$ и $\frac{1}{4}$.

Оценим каждое из чисел относительно единицы.

Для числа $\sqrt[8]{3}$: так как $3 > 1$, то и корень любой степени из него будет больше единицы. $\sqrt[8]{3} > \sqrt[8]{1}$, следовательно $\sqrt[8]{3} > 1$.

Для числа $\frac{1}{4}$: это правильная дробь, она меньше единицы. $0 < \frac{1}{4} < 1$.

Поскольку $\sqrt[8]{3} > 1$, а $\frac{1}{4} < 1$, то очевидно, что $\sqrt[8]{3} > \frac{1}{4}$.

Следовательно, $\sqrt[8]{3} > (\frac{1}{36})^{\log_6 2}$.

Ответ: $\sqrt[8]{3} > (\frac{1}{36})^{\log_6 2}$.

20.16. При каком основании выполняется равенство:

1) $\log_x 36 = 0.5$;

2) $\log_x 27 = \frac{3}{2}$;

3) $\log_x 64 = 1.2$;

4) $\log_x 2 = -0.5$?

1) Чтобы найти основание $x$ для равенства $\log_x 36 = 0,5$, воспользуемся определением логарифма: $\log_a b = c$ эквивалентно $a^c = b$. При этом основание логарифма должно быть положительным и не равным единице ($x > 0$, $x \neq 1$).

Применяя это определение к нашему случаю, получаем: $x^{0,5} = 36$.

Поскольку $0,5 = \frac{1}{2}$, уравнение можно переписать как $x^{1/2} = 36$, что то же самое, что и $\sqrt{x} = 36$.

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 36^2$

$x = 1296$.

Основание $x = 1296$ удовлетворяет условиям $x>0$ и $x\neq1$.

Ответ: $1296$.

2) Для равенства $\log_x 27 = \frac{3}{2}$ применим определение логарифма.

Получаем уравнение: $x^{3/2} = 27$.

Заметим, что $27 = 3^3$. Подставим это в уравнение:

$x^{3/2} = 3^3$.

Степень $3/2$ можно представить как $(x^{1/2})^3$. Тогда уравнение примет вид:

$(x^{1/2})^3 = 3^3$.

Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем:

$x^{1/2} = 3$, или $\sqrt{x} = 3$.

Возведем обе части в квадрат, чтобы найти $x$:

$x = 3^2 = 9$.

Основание $x = 9$ удовлетворяет условиям $x>0$ и $x\neq1$.

Ответ: $9$.

3) Рассмотрим равенство $\log_x 64 = 1,2$.

По определению логарифма: $x^{1,2} = 64$.

Переведем десятичную дробь $1,2$ в обыкновенную: $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.

Уравнение принимает вид: $x^{6/5} = 64$.

Число $64$ можно представить как степень двойки: $64 = 2^6$.

Подставляем это в уравнение: $x^{6/5} = 2^6$.

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в степень, обратную $\frac{6}{5}$, то есть в степень $\frac{5}{6}$:

$(x^{6/5})^{5/6} = (2^6)^{5/6}$

$x^{(6/5) \cdot (5/6)} = 2^{6 \cdot (5/6)}$

$x^1 = 2^5$

$x = 32$.

Основание $x = 32$ удовлетворяет условиям $x>0$ и $x\neq1$.

Ответ: $32$.

4) Для равенства $\log_x 2 = -0,5$ найдем основание $x$.

По определению логарифма: $x^{-0,5} = 2$.

Представим $-0,5$ в виде дроби: $-0,5 = -\frac{1}{2}$.

Уравнение примет вид: $x^{-1/2} = 2$.

Используя свойство степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), перепишем левую часть:

$\frac{1}{x^{1/2}} = 2$, что эквивалентно $\frac{1}{\sqrt{x}} = 2$.

Отсюда выразим $\sqrt{x}$:

$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (\frac{1}{2})^2$

$x = \frac{1}{4}$.

Основание $x = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условиям $x>0$ и $x\neq1$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

20.17. Логарифмы каких натуральных чисел, не превосходящих 100, можно вычислить, зная значения $ \lg 2 $ и $ \lg 3 $?

Обозначим десятичный логарифм как $\lg x = \log_{10} x$. По условию задачи, нам известны значения $\lg 2$ и $\lg 3$. Наша задача — найти все натуральные числа $N$ в диапазоне от 1 до 100, для которых можно вычислить $\lg N$.

Используя основные свойства логарифмов, мы можем вычислять логарифмы чисел, которые являются произведением, частным или степенью чисел, логарифмы которых нам известны.

Ключевые известные или выводимые значения:

1. $\lg 2$ (дано по условию).

2. $\lg 3$ (дано по условию).

3. $\lg 10 = 1$, так как это логарифм по основанию 10.

4. $\lg 1 = 0$.

5. Известное значение $\lg 10$ позволяет найти $\lg 5$. Поскольку $5 = 10 / 2$, то, используя свойство логарифма частного $\lg(a/b) = \lg a - \lg b$, получаем:

$\lg 5 = \lg(10/2) = \lg 10 - \lg 2 = 1 - \lg 2$.

Таким образом, зная $\lg 2$, мы можем вычислить и $\lg 5$.

Итак, мы можем найти логарифмы простых чисел 2, 3 и 5. Используя свойство логарифма произведения $\lg(xy) = \lg x + \lg y$ и свойство логарифма степени $\lg(x^k) = k \lg x$, мы можем вычислить логарифм любого натурального числа $N$, которое в своем разложении на простые множители содержит только множители 2, 3 и 5.

Такие числа имеют общий вид $N = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^d$, где $a, b, d$ — неотрицательные целые числа. Их логарифм вычисляется по формуле: $\lg N = \lg(2^a \cdot 3^b \cdot 5^d) = a\lg 2 + b\lg 3 + d\lg 5 = a\lg 2 + b\lg 3 + d(1 - \lg 2)$.

Теперь нам нужно найти все такие числа $N = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^d$, которые не превосходят 100. Перечислим их, систематически перебирая степени $a, b, d$.

Числа, содержащие только простые множители 2, 3, 5, не превосходящие 100:

Степени двойки: $2^0=1, 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, 2^6=64$.

Степени тройки: $3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81$.

Степени пятерки: $5^1=5, 5^2=25$.

Произведения степеней 2 и 3: $2 \cdot 3=6$, $2^2 \cdot 3=12$, $2^3 \cdot 3=24$, $2^4 \cdot 3=48$, $2^5 \cdot 3=96$; $2 \cdot 3^2=18$, $2^2 \cdot 3^2=36$, $2^3 \cdot 3^2=72$; $2 \cdot 3^3=54$.

Произведения степеней 2 и 5: $2 \cdot 5=10$, $2^2 \cdot 5=20$, $2^3 \cdot 5=40$, $2^4 \cdot 5=80$; $2 \cdot 5^2=50$, $2^2 \cdot 5^2=100$.

Произведения степеней 3 и 5: $3 \cdot 5=15$, $3^2 \cdot 5=45$; $3 \cdot 5^2=75$.

Произведения степеней 2, 3 и 5: $2 \cdot 3 \cdot 5=30$; $2^2 \cdot 3 \cdot 5=60$; $2 \cdot 3^2 \cdot 5=90$.

Объединив все эти числа и отсортировав их, получим итоговый список.

Ответ: Логарифмы можно вычислить для следующих натуральных чисел, не превосходящих 100:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 60, 64, 72, 75, 80, 81, 90, 96, 100.

20.18. Разность десятичных логарифмов двух чисел равна:

1) 1; 2) 2; 3) 3.

Найдите отношение этих чисел.

1) Пусть искомые числа – это $a$ и $b$. По условию, разность их десятичных логарифмов равна 1. Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10, который обозначается как $\lg$. Запишем условие в виде уравнения:

$\lg(a) - \lg(b) = 1$

Согласно свойству логарифмов, разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного их аргументов: $\log_c(x) - \log_c(y) = \log_c(\frac{x}{y})$. Применим это свойство к нашему уравнению:

$\lg(\frac{a}{b}) = 1$

По определению логарифма, если $\lg(z) = k$, то $z = 10^k$. В нашем случае:

$\frac{a}{b} = 10^1 = 10$

Таким образом, отношение этих чисел равно 10.

Ответ: 10.

2) Разность десятичных логарифмов равна 2.

Аналогично предыдущему пункту, запишем уравнение для чисел $a$ и $b$:

$\lg(a) - \lg(b) = 2$

Преобразуем его, используя свойство разности логарифмов:

$\lg(\frac{a}{b}) = 2$

Из определения логарифма следует, что отношение чисел равно:

$\frac{a}{b} = 10^2 = 100$

Ответ: 100.

3) Разность десятичных логарифмов равна 3.

Запишем соответствующее уравнение:

$\lg(a) - \lg(b) = 3$

Используя свойство разности логарифмов, получаем:

$\lg(\frac{a}{b}) = 3$

Отсюда находим искомое отношение чисел:

$\frac{a}{b} = 10^3 = 1000$

Ответ: 1000.

20.19. Выразите:

1) $ \lg25 $, если $ \lg2 = a $;

2) $ \log_{50} 8 $, если $ \lg5 = a $ и $ \lg2 = c $;

3) $ 3\log_{\frac{\sqrt{a}}{b}}\left(\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}\right) + \log_{\frac{\sqrt{a}}{b}} b $, если $ \log_b a = 3 $;

4) $ \log_{\sqrt{ab}}\left(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}}\right) + \log_{\sqrt{ab}}(a\sqrt{a}) $, если $ \log_a b = 4 $.

1) Для решения используем свойство логарифмов $\lg x = \log_{10} x$ и тот факт, что $\lg 10 = 1$.

Сначала выразим $\lg 5$ через данное нам значение $\lg 2 = a$. Мы знаем, что произведение под логарифмом раскладывается в сумму логарифмов:

$\lg 10 = \lg(2 \cdot 5) = \lg 2 + \lg 5$

Так как $\lg 10 = 1$ и $\lg 2 = a$, получаем:

$1 = a + \lg 5$

Отсюда находим $\lg 5$:

$\lg 5 = 1 - a$

Теперь преобразуем искомое выражение, используя свойство степени логарифма $\log_k x^n = n \log_k x$:

$\lg 25 = \lg 5^2 = 2 \lg 5$

Подставляем найденное ранее выражение для $\lg 5$:

$2 \lg 5 = 2(1 - a) = 2 - 2a$

Ответ: $2 - 2a$.

2) Для решения воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\log_b x = \frac{\log_k x}{\log_k b}$. Перейдем к основанию 10 (десятичному логарифму, lg), так как нам даны значения $\lg 5 = a$ и $\lg 2 = c$.

$\log_{50} 8 = \frac{\lg 8}{\lg 50}$

Выразим числитель и знаменатель через заданные $a$ и $c$, используя свойства логарифмов.

Преобразуем числитель:

$\lg 8 = \lg 2^3 = 3 \lg 2 = 3c$

Преобразуем знаменатель:

$\lg 50 = \lg(5^2 \cdot 2) = \lg 5^2 + \lg 2 = 2 \lg 5 + \lg 2 = 2a + c$

Теперь подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\log_{50} 8 = \frac{3c}{2a + c}$

Ответ: $\frac{3c}{2a+c}$.

3) Упростим данное выражение, используя свойства логарифмов $n \log_k x = \log_k x^n$ и $\log_k x + \log_k y = \log_k (xy)$. Основание логарифма в обоих слагаемых одинаковое: $\frac{\sqrt{a}}{b}$.

$3 \log_{\frac{\sqrt{a}}{b}} \left( \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}} \right) + \log_{\frac{\sqrt{a}}{b}} b = \log_{\frac{\sqrt{a}}{b}} \left( \left( \frac{a^{1/3}}{b^{1/2}} \right)^3 \right) + \log_{\frac{\sqrt{a}}{b}} b$

$= \log_{\frac{\sqrt{a}}{b}} \left( \frac{a}{b^{3/2}} \right) + \log_{\frac{\sqrt{a}}{b}} b = \log_{\frac{\sqrt{a}}{b}} \left( \frac{a}{b^{3/2}} \cdot b \right) = \log_{\frac{\sqrt{a}}{b}} \left( \frac{a}{b^{1/2}} \right)$

Для вычисления полученного логарифма воспользуемся формулой перехода к новому основанию, выбрав в качестве него $b$. Нам дано, что $\log_b a = 3$.

$\log_{\frac{\sqrt{a}}{b}} \left( \frac{a}{\sqrt{b}} \right) = \frac{\log_b \left( \frac{a}{\sqrt{b}} \right)}{\log_b \left( \frac{\sqrt{a}}{b} \right)}$

Вычислим числитель, используя свойства логарифма частного:

$\log_b \left( \frac{a}{\sqrt{b}} \right) = \log_b a - \log_b \sqrt{b} = \log_b a - \log_b b^{1/2} = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

Вычислим знаменатель:

$\log_b \left( \frac{\sqrt{a}}{b} \right) = \log_b \sqrt{a} - \log_b b = \log_b a^{1/2} - 1 = \frac{1}{2} \log_b a - 1 = \frac{1}{2} \cdot 3 - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

Найдем значение всего выражения, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{5/2}{1/2} = 5$

Ответ: $5$.

4) Поскольку основания логарифмов одинаковы ($\sqrt{ab}$), мы можем объединить их, используя свойство суммы логарифмов $\log_k x + \log_k y = \log_k (xy)$:

$\log_{\sqrt{ab}} \left( \frac{\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}} \right) + \log_{\sqrt{ab}} (a\sqrt{a}) = \log_{\sqrt{ab}} \left( \frac{\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}} \cdot a\sqrt{a} \right)$

Упростим выражение под знаком логарифма, представив корни в виде степеней:

$\frac{b^{1/2}}{a^{1/4}} \cdot a^1 \cdot a^{1/2} = \frac{b^{1/2}}{a^{1/4}} \cdot a^{3/2} = b^{1/2} \cdot a^{3/2 - 1/4} = b^{1/2} \cdot a^{6/4 - 1/4} = b^{1/2} a^{5/4}$

Итак, мы получили выражение $\log_{\sqrt{ab}} (b^{1/2} a^{5/4})$.

Теперь воспользуемся условием $\log_a b = 4$. По определению логарифма, это означает, что $b = a^4$. Подставим это в наше выражение.

Основание логарифма: $\sqrt{ab} = \sqrt{a \cdot a^4} = \sqrt{a^5} = a^{5/2}$.

Выражение под логарифмом: $b^{1/2} a^{5/4} = (a^4)^{1/2} a^{5/4} = a^2 \cdot a^{5/4} = a^{2+5/4} = a^{8/4+5/4} = a^{13/4}$.

Наш логарифм принимает вид:

$\log_{a^{5/2}} (a^{13/4})$

Используем свойство логарифма $\log_{x^m} y^n = \frac{n}{m} \log_x y$:

$\log_{a^{5/2}} (a^{13/4}) = \frac{13/4}{5/2} \log_a a = \frac{13/4}{5/2} \cdot 1 = \frac{13}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{26}{20} = \frac{13}{10} = 1.3$

Ответ: $1.3$.

Вычислите (20.20–20.21):

20.20. 1) $343^{2\log_{49}2}$; 2) $4^{2\log_{32}10}$; 3) $(\sqrt{5})^{2\log_5 3}$;

4) $9^{\log_{27}\sqrt{5}}$; 5) $(\frac{1}{27})^{\log_{\frac{1}{9}}4}$; 6) $4^{\log_8 125}$.

1) Чтобы вычислить $343^{2\log_{49}2}$, представим основания $343$ и $49$ в виде степеней числа $7$: $343 = 7^3$ и $49 = 7^2$. Выражение принимает вид: $(7^3)^{2\log_{7^2}2}$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $7^{3 \cdot 2\log_{7^2}2} = 7^{6\log_{7^2}2}$. Далее применим свойство логарифма $\log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_a b$: $7^{6 \cdot \frac{1}{2}\log_7 2} = 7^{3\log_7 2}$. Используя свойство $n\log_a b = \log_a b^n$, получаем: $7^{\log_7 2^3} = 7^{\log_7 8}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, окончательно получаем: $7^{\log_7 8} = 8$. Ответ: 8.

2) Для вычисления $4^{2\log_{32}10}$ представим основания $4$ и $32$ в виде степеней числа $2$: $4 = 2^2$ и $32 = 2^5$. Выражение становится: $(2^2)^{2\log_{2^5}10}$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $2^{2 \cdot 2\log_{2^5}10} = 2^{4\log_{2^5}10}$. Используем свойство логарифма $\log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_a b$: $2^{4 \cdot \frac{1}{5}\log_2 10} = 2^{\frac{4}{5}\log_2 10}$. Применяем свойство $n\log_a b = \log_a b^n$: $2^{\log_2 (10^{4/5})}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем $10^{4/5}$. Это значение можно также записать в виде корня: $\sqrt[5]{10^4}$ или $\sqrt[5]{10000}$. Ответ: $10^{4/5}$.

3) Вычислим $\sqrt{5}^{2\log_5 3}$. Представим $\sqrt{5}$ как $5^{1/2}$: $(5^{1/2})^{2\log_5 3}$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $5^{\frac{1}{2} \cdot 2\log_5 3} = 5^{\log_5 3}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем: $5^{\log_5 3} = 3$. Ответ: 3.

4) Для вычисления $9^{\log_{27} \sqrt{5}}$ представим основания $9$ и $27$ в виде степеней числа $3$: $9=3^2$, $27=3^3$. Также представим $\sqrt{5}$ как $5^{1/2}$. Выражение принимает вид: $(3^2)^{\log_{3^3} 5^{1/2}}$. Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $3^{2 \cdot \log_{3^3} 5^{1/2}}$. Применим свойство логарифма $\log_{a^k}b^m = \frac{m}{k}\log_a b$: $3^{2 \cdot \frac{1/2}{3}\log_3 5} = 3^{2 \cdot \frac{1}{6}\log_3 5} = 3^{\frac{1}{3}\log_3 5}$. Используем свойство $n\log_a b = \log_a b^n$: $3^{\log_3 (5^{1/3})}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем $5^{1/3}$, что равно $\sqrt[3]{5}$. Ответ: $\sqrt[3]{5}$.

5) Вычислим $(\frac{1}{27})^{\log_{\frac{1}{9}} 4}$. Представим основания $\frac{1}{27}$ и $\frac{1}{9}$ в виде степеней числа $3$: $\frac{1}{27} = 3^{-3}$ и $\frac{1}{9} = 3^{-2}$. Выражение принимает вид: $(3^{-3})^{\log_{3^{-2}} 4}$. Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $3^{-3 \cdot \log_{3^{-2}} 4}$. Применим свойство логарифма $\log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_a b$: $3^{-3 \cdot \frac{1}{-2}\log_3 4} = 3^{\frac{3}{2}\log_3 4}$. Используем свойство $n\log_a b = \log_a b^n$: $3^{\log_3 (4^{3/2})}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем $4^{3/2}$. Вычисляем значение: $4^{3/2} = (4^{1/2})^3 = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$. Ответ: 8.

6) Для вычисления $4^{\log_8 125}$ представим основания $4$ и $8$ в виде степеней числа $2$: $4 = 2^2$, $8=2^3$. Также представим $125$ как $5^3$. Выражение принимает вид: $(2^2)^{\log_{2^3} 5^3}$. Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $2^{2 \cdot \log_{2^3} 5^3}$. Применим свойство логарифма $\log_{a^k}b^m = \frac{m}{k}\log_a b$: $2^{2 \cdot \frac{3}{3}\log_2 5} = 2^{2\log_2 5}$. Используем свойство $n\log_a b = \log_a b^n$: $2^{\log_2 5^2} = 2^{\log_2 25}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем $25$. Ответ: 25.